最小循环周期为总状态数的魔方

ggglgq

今天在 ★ 理论篇 ★ 看到 pan528 先生的 《这些问题能用魔方理论表述吗？》 ，
使我联想到这个有趣的数学问题。





一、定理：若某一魔方（各类魔方）的总状态数为 M ，则该魔方的任一 (变换 A) 的
最小循环周期 不大于 M 。

证明： 设该魔方 (变换 A) 的 最小循环周期 为 n ，则

(变换 A)、(变换 A)2、(变换 A)3、......、(变换 A)n 为该魔方的 n 个不同状态！

由于该魔方的总状态数为 M ，

故 n ≤ M 。 定理得证。



注：(变换 A) 为步长为 1 的变换 或 它们的任意组合变换。



二、最小循环周期为总状态数的魔方。

有趣的是，存在这样的魔方，它的总状态数为 M ，该魔方的任意 (变换 A ≠ 1) 的
最小循环周期 都为 M 。

很有意思的正是：这种魔方的每一变换 A ≠ 1（操作）的最小循环周期 都是 最大值 M 。
大家考虑一下，此时 M 应满足的前提条件是什么？ 有多少这样的魔方呢？

请各位魔友考虑一下，挺简单的，相信大家能够找到正确答案！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:10 编辑 ]

ggglgq

呵呵，noski 先生对“循环变换球面网”理解的不透呀。记得当初 noski 先生曾把
魔方态态网 放到 正六面体 中考虑，正六面体 表面 边、角、面中心 的性质均不一样，
所以 魔方态态网 不是 正六面体 构造；同样 魔方态态网 也不是其他 正多面体 构造，
对于空间对称体魔方来说，该魔方态态网 只能构成 “球面网”。 因为“球面”没有
所谓表面的 边、角、面中心，因此只有“球面”才能保证“态态”平等！

注：这里的 球面网 是指 高维空间的球面网 ，不是通常 三维空间的球面网！

因此 noski 先生对“最小循环周期为总状态数的魔方”的理解就显得“复杂化”了。







乌木 先生一直在致力于“循环变换球面网”的研究，应该说体会颇深，发表了很多
魔方态态网 的研究成果，本人每贴必看。在此感谢 乌木 先生为魔方吧论坛所做的工作！

因此 乌木 先生对“最小循环周期为总状态数的魔方”的理解就显得“太简单化”了。







总之，“最小循环周期为总状态数的魔方”的问题，没那么“复杂”，也没那么“简单”！
呵呵，请大家再认真考虑一下吧！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:13 编辑 ]

ggglgq

有兴趣的魔友可以参考 “遍历魔方的所有状态” 38 、39 楼，那里的问题较复杂，但
“最小循环周期为总状态数的魔方”很简单，因为“每一变换” 都可以“周游魔方所有状态”，
可谓是“闭上眼睛周游世界”，真惬意！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:15 编辑 ]

ggglgq

引用: 原帖由 noski 于 2008-1-17 11:14 发表
不过要说到状态网，我的思路是它有点类似晶体中的晶格，也许看看金刚石的结构就知道我所想的了，当然金刚石和魔方是有很大不同的。金刚石结构中的碳原子，也是态态平等的，但不是球面。



呵呵，noski 先生理解的不对呀！

固然，金刚石内部结构中的碳原子是态态平等的，但对于最外层（表面）的“态”，就不平等！
金刚石表面 边、角、面中心 的性质互不一样，与 内部（不是中心）、中心状态 更不一样。

请 noski 先生注意：对于空间对称体魔方来说，该 魔方态态网 要保证“每个态都平等”！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:16 编辑 ]

ggglgq

原帖由 noski 于 2008-1-17 12:20 发表
把上下、左右、前后分别通过空间扭曲连接起来，这样，从立方体内部来看，循环了吧。。

呵呵，魔方态态网 要保证 有限个状态 中 “每个态都平等”，必然循环！

循环就是“圈”，“圈”在高维空间就是“球面”呀！ noski 先生 理解了嘛？！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:17 编辑 ]

ggglgq

为了使大家对“循环变换球面网”有一个正确的理解，下面让大家再看看：
2×2 平面魔方的“正八面体的循环变换球面网”：







2×2 平面魔方有 4 种操作 U 、 D 、 L 、 R 。 2×2 平面魔方的“循环变换球面网”
为“正八面体的循环变换球面网”（如图）。

请各位魔友注意，图中 A --> B 箭头表示：从 A 到 B 但还需要整体旋转后才能得到 B 。
图中不带箭头的可以互相转换；但带箭头的是不能互相转换的，转换后还需整体旋转。

我们不妨分别用 U 、 U+ 、 U2 、 U- 表示（D 、 L 、 R 操作同理）：
U 表示操作 U 后不需要再做整体旋转；
U+ 表示操作 U 后再做顺时针整体旋转；
U2 表示操作 U 后再做整体旋转 180 度；
U- 表示操作 U 后再做逆时针整体旋转。







话题好象扯远了，对于 “循环变换球面网” 的问题，大家可以在“循环变换理论” 中
讨论！


[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:18 编辑 ]

ggglgq

“五角星魔方”只能在 平面内旋转 “五角星魔方” 进行变换，不能拿出五角星所在平面
进行“翻转”，也不能随意调换“五角星魔方”颜色！ 即：只能按照图中的 顺、逆 时针旋转
72 度 的 倍数 进行“五角星魔方” 变换。 其中：初始状态 为 变换 P = 1 。


可以看出：“五角星魔方” 的任意 变换 A ≠ 1 (A、A'、B、B') 的最小循环周期 都为 5 。




例子多多，请大家再仔细考虑考虑，最终给出正确答案。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:19 编辑 ]

ggglgq

请 pengw 稍安勿躁！没有必要一贴多发！ “遍历循环变换”必须在“所有状态”范围内
进行！ 你的问题无解！








pengw ，再次提醒请你参考： 也谈“魔方态关系网”。

http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=1002&extra=page%3D1&page=1<;/A>


如果你能真正弄懂 烟头、乌木 那的帖子内容，你最近这些天的“牢骚、攻击”可能就没了！
我想那时你再“平心静气”地好好学学“循环变换理论”，你会有很大收获的！希望今后看到的
不是“牢骚、攻击、漫骂”的 pengw ，而是“谦虚、负责、谨慎”的 pengw 。



希望你能认真领悟一下这个帖子，了解“循环变换球面网”的产生历程，绝不象你想象的
那么简单。亦希望我们能 少些无聊争吵、对立，多些真诚探讨、合作 ，共谋魔方吧未来的健康
发展！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:21 编辑 ]

ggglgq

这两天看见 乌木 先生为“各类魔方最大循环周期的公式”通过“该魔方最远状态”
忙碌着，可惜 “正六面体 N 阶魔方”都不争气！



“最大循环周期的公式”通过“该魔方最远状态”的“魔方”在这里（比如）：



[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:22 编辑 ]

ggglgq

因为这种魔方的每一变换 A ≠ 1（操作公式）的最小循环周期 都是 最大值 M 。
所以 这种魔方的每一变换 A ≠ 1（操作公式）的 循环公式 都通过“该魔方最远状态”！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:23 编辑 ]