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有无数多条对称轴的平面封闭曲线一定是圆吗？ [复制链接]

华容道

红魔

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电梯直达

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发表于 2010-9-23 18:38:30 |只看该作者 |倒序浏览

有无数多条对称轴的平面封闭曲线一定是圆吗？

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相思常青

黄魔

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发表于 2010-9-23 19:01:23 |只看该作者

如果能找出一种符合条件、不是圆的图形就说明这句话是错的。
可惜我找不到。。。。。。我还不知道圆的定义。。。。。。
我们班下个星期就要学圆形了，等过一段时间再回答吧。

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caocaojun

红魔

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发表于 2010-9-23 19:05:20 |只看该作者

圆的定义是到定点的距离等于定长的点的集合。

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哔哔哔哔

白魔

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发表于 2010-9-23 19:20:24 |只看该作者

。。。。。。。。。。。。。- -很深奥的问题

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耗子哥哥

铜魔

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发表于 2010-9-23 20:27:18 |只看该作者

理论上说，正偶数边形，就有其边数2倍的对称轴，正奇数边形就有其边数的对称轴数，也就是说你要是找出一个“无穷”边形，就有无穷条对称轴，只要你认为这个无穷边形无限接近圆但不是圆，那就是第二个符合你题目的多边形。

点这里，我的经验就能增加1点：http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=64324&page=7&authorid=104435
诺大的北京，容不下一个平静的魔方！
不让人说话的发言人和组织者代表什么样的团体？
魔方吧出过公众人物、前见习版主、商人老爸、带头大哥、发言人、走狼、变成壳、白魔代表。对了，还有一个自封无耻小人的。

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superacid

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发表于 2010-9-23 20:59:23 |只看该作者

回复 5# 的帖子

那个图形就是圆...

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lamianbu

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发表于 2010-9-23 21:02:51 |只看该作者

原帖由 耗子哥哥 于 2010-9-23 20:27 发表
理论上说，正偶数边形，就有其边数2倍的对称轴，正奇数边形就有其边数的对称轴数，也就是说你要是找出一个“无穷”边形，就有无穷条对称轴，只要你认为这个无穷边形无限接近圆但不是圆，那就是第二个符合你题目的多边 ...

又回到 0.9循环等于1的老问题了。

拉面不是扯面。最小步数单脚多颗盲拧九阶五魔方。可惜WCA比赛没这项目。

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phileas

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发表于 2010-9-24 00:51:26 |只看该作者

一定是圆。

粗略证明（时间关系，没有用十分严格的语言）：

1。首先证明，任意两条对称轴都有交点（即不平行）。
反证法。假设有两条平行的对称轴，在曲线上任取一点，反复对这两条对称轴作对称点，得到的点集是发散的，与封闭曲线矛盾。

2。然后证明，所有对称轴交于一点。
反证法：假设有三条对称轴不是交于一点，那么中间围了个三角形，在这个三角形内部任取一点O。
在曲线上任取一点P，在上述三条对称轴中必存在一条，使得O和P在其同一侧，作P对于该对称轴的对称点P'，显然OP' > OP。
再一次，在上述三条对称轴中必存在一条，使得O和P'在其同一侧，作P'对于该对称轴的对称点P''，有OP'' > OP'。
这样继续下去，再次得到一个发散的点集，与封闭曲线矛盾。（点集发散性还需要严格证明一下，应该没问题）

3。假设所有对称轴交于点O。在曲线上任取一点P，于是以O为圆心，OP为半径的圆上有曲线上无数个点。可以证明整个圆都属于曲线。基本思路是先对于三根对称轴进行分析，用夹角作辗转相除法，得到如果夹角比例是无理数，就必然整个圆都属于曲线；而如果所有比例都是有理数，那么由于有无数对称轴，夹角比例存在任意大的分母，再利用有界数集必有确界，仍然整个圆都属于曲线。

4。最后，由于是封闭曲线，应该不可能包含其它同心圆。

所以该曲线一定是圆。

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