从大雁宝石魔方说起

chuchudengren

大雁宝石魔方是一款棱十二轴一阶魔方，作为一阶魔方，它的解法很简单，由于要求评测解法，那么我也简单的将解法附在后面。由于helicopter得先例，只需要借鉴其公式即可。
然而作为一款棱十二轴魔方，这个魔方还具有一个更加基本的性质jumble。从helicopter到24-cube，再到一系列的Oskar' 的奇奇怪怪的魔方，jumble的概念正慢慢融入到魔方的血液之中，然而不少人还不太了解这个概念，所以我就简单介绍一下jumble。
Jumble的概念是随着冈本同学的bevel cube而诞生的，这款魔方也就是现在我们所熟知的helicopter（直升机），时间上冈本设计的早一些，但是却被Adam先发表。冈本为了证明自己的是不同的，就又发表了jumble的图片，结果Adam的也可以，这是让冈本同学颇为沮丧的一件事情。玩过helicopter的朋友应该知道除了常规的180度的旋转之外，这款魔方还可以有70.53度的旋转，下面是jumble的图
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也许直观上你会觉得这不过是简单的形变而已，于是在twistypuzzles上有不少帖子在问变形（shape-shift）和jumble的关系，但是真相只有一个——这是两个完全不相同的概念，jumble的 概念远比变形要基本的多。数学上我们证明一个条件既非充分也非必要，是要求举出两个反例的，这个我会稍后奉上，我们先从jumble的概念说



让我们还是回到helicopter，当我们转动70.53度的时候，并不是所有的棱都是可以继续旋转的（不考虑由于空间位阻而导致的不能转动），这让我们想起的第一个概念叫做捆绑，也就是说helicopter是一款“捆绑魔方”。我们最熟悉的一款捆绑魔方莫过于经典的bandaged cube，显而易见它可以解捆绑变成一个普通的三阶，那么我们也尝试在helicopter上做同样的事情，为了更加直观我们可以把helicopter做成一个球


下面是用Jaap网站上的sphere工具制作的图片截图


地址： http://www.jaapsch.net/puzzles/sphere.htm
我们考虑共一个角块的三个楞的时候就大可以放弃整个三维的考虑，而只从这三个圆入手
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这个时候再去看刚才的jumble其实是一件显而易见的事情，不过是下图而已
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当一种转动阻塞的时候，也就是如图的情形时，就会出现不对称的切割来进行解捆绑，如图为第一次解捆绑，arccos1/3是无理数导致在图黄色圆内依次进行类似解捆绑时永远无法重合，即无法解捆绑，称之为jumble。可以看出这种无理数度数的转动是魔方jumble的一个充分条件，这样的转动使得总可以产生新的解捆绑，而是这款魔方必然jumble  (感谢para的idea！）

如图红色为原有魔方转动方式，从粉色开始依次顺时针切割解捆绑……
Bram给出了数学上的定义：

Definition:

A twisty puzzle “jumbles” when it cannot be unbandaged into a doctrinaire puzzle.

一款魔方可以jumble当且仅当它不可以解捆绑成一个平凡的魔方。而所谓平凡的魔方是指经过每一步都不会改变或影响原有的转动方式，即每一步的转动除了改变一些贴纸变化或者一些与转动方式无关的形状的改变以外，对于魔方是没有变动的。简单的例子比如说三阶，每一步转动之后它还是保持原来的每一面和夹层都只能90度旋转的旋转方式，再比如粽子魔方，虽说转动可以导致形状的很大的变化，但是转动方式却是不变的。而解捆绑则是和捆绑相对的概念，捆绑是指将相邻的块连接起来。我们依然从二维入手，来看一些简单的例子：首先是由Douglas A. Engel设计的一款魔方
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这款魔方某种意义上就是一个三阶魔方，那么每个圆都可以进行60的转动，且每一步转动都不影响原有的转动方式，显然这是一个平凡的魔方。
第二个是同样由Douglas A. Engel设计的battle gear
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我给jaap发邮件问他一些魔方解法的事情时，他曾经把这款魔方和rotascope做为非常难的魔方的例子，只能用计算机找到的公式。这款魔方初看似乎没有办法解捆绑，但是仔细的分析一下就会发现其实这也是一款捆绑魔方，具体解捆绑的图片如下

第三个依然是由Douglas A. Engel设计
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这款魔方也容易给人造成错觉，Bram认为这是一个jumble的魔方，但是我画的认为只是一个捆绑的魔方，大家不妨说说自己的想法。
让我们回到三维，第一个魔方是一个简单的魔方
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显然这不是一个jumble的魔方，但是仔细看一下就会发现其实这连一个捆绑魔方都不是，只是一个平凡的魔方，这是不是与平常的捆绑的概念相左呢？

Uncanny cube，由oskar设计


这个显而易见是一个jumble的魔方，由于角度的关系，顶层45度转动时会阻塞其他免得转动，而解捆绑就要使得对于顶层的任意45度转动都要可以侧面的转动可能，而且由于侧面的90度的转动使得面的块之间可以相互交换。
最后介绍的一款魔方叫做mixup cube。


简言之，中心块和楞块是不能区分的（mix-up），转动方式除了正常三阶的转动方式之外，还有如图所示的转动，也就是中层转动45度后的转动。这款魔方究竟算不算是jumble呢？Bram的观点是这不是一款jumble的魔方，因为我们考虑普通的转动（regular turn）：中层旋转45度，外层转动90度，每一个普通转动之后都不会影响整个魔方的转动方式，也就是说这是一个平凡的魔方。
我们现在看jumble的概念时，就会清楚许多，jumble远比简单的形状变化要深刻的多，这是一个与相交块的转动方式相关的一个内在的东西，不会随着一些形状的变化而改变。我们再看魔方时，不妨先分析这究竟是一款捆绑魔方（bandaged），平凡魔方（doctrinaire）还是一款jumble的魔方，这种本源的性质或许使我们划分魔方的重要标准。


P.S. 写着写着就忘了反例的事情，jumble但是不改变形状的魔方：helicopter sphere，就是那个做成球的直升机。改变形状但是不jumble的就不计其数了，比如粽子等一大堆三阶变形

[ 本帖最后由 chuchudengren 于 2010-12-15 17:22 编辑 ]

chuchudengren

jumble的概念的讨论是从24-cube开始的，那么我最后再将最初讨论的范例拿来做进一步的说明：

当转动70.53度的时候，如下图：

我们将其解捆绑：

但是继续旋转70.53度，会发现：

我们不得不再次解捆绑，由于arccos1/3是无理数，这样的解捆绑将会无穷进行下去。
然而让我惊奇的事情在于jumble不仅仅来源与无理数角度的转动，有理数角度的转动同样产生jumble，最典型的一个例子便是uncanny cube。
我没有见到过关于这个魔方jumble的阐述亦或者证明，知识Bram曾经说：

the Uncanny Cube is jumbleable. The easiest way to see this is to note that it feels bandaged in places, and think through what would happen if you try to 'unbandage' it. （最简单的判断方式就是注意到这个魔方是捆绑的而去想想如果尝试解捆绑将会变成什么样子），这款魔方的jumble源于顶层的45度转动，直观上如果要解捆绑将会破坏的体无完肤。

还有一个讨论时48-cube，也就是24-cube和二阶相结合的一款魔方

红色是24-cube'的转动方式，绿色是二阶的转动方式

由于两者的结合，导致二阶方向上可以进行45度转动：

24-cube方向也可以进行90度的转动：

如果忽略24-cube所又的70.53度的转动，只有其余的有理数角度的转动是否也可以jumble呢？

wwwmwww曾经尝试解捆绑，但是失败了，但也没有证明是没有办法解捆绑的，下图是对于解捆绑的尝试：

参考文献：
1．
Twisty_Puzzles_that_Jumble， Bram and Oskar.
2．
Puzzles that jumble,
http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=1&t=17707
3．
Pictures from http://www.puzzleatomic.com/index.htm
4．
Pictures from http://www.jaapsch.net/puzzles/
5．
New puzzle：helicopter cube
http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=9&t=6253
6.jumbling puzzle
   http://www.twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=1&t=11126&hilit=jumble+helicopter

对于这款魔方的解法也简单介绍一下，由于只是一个没有角块，露出中心块的helicopter，那么我们依然沿用helicopter的还原顺序和方法，至于细节的地方或许稍有差异，关于helicopter的还原方法可以看其他技术区的置顶帖。
借用一下子坎的图片，谢谢。
第一步：复型，这一步凭直觉也可以搞定了；
第二步，180度打乱时楞块分成四个簇，这一步就要把对应的楞块放到相应的簇中，由于魔方是彩色的，因此这一步还是颇为省力的，公式就是helicopter里的公式：
(FL  UR) UF3（FL' UR' ) UF3，造成的效果是簇内两块交换并伴随其他两簇的块交换：


第三步，三循环还原簇内的块，三循环的公式（FL3 UF3）2，对应着FL与UF所交的楞块所在簇的三循环，至于其他的簇，也可以此类推。最后的情况。就是两个簇内都需要两块进行交换，这里依然采用helicopter的公式：(FL UR )UF3(FL' UR' ) + (FR' UL' )UF3(FR UL)，对应的交换效果如下，其实这个公式相当于翻转了一个中心，因此也可以开始不管中心的方向，留到最后用这个公式处
理
。
第四步，所谓的特殊情况，也就是彩色里只有两个楞块交换的情况，
(FD3 LF3 FD3) (FR LU’ FU3 LU FR’ FU3) ( FD3 LF3 FD3)，至此魔方就可以还原了。
这个公式的实际效果如图所示，但是由于彩色里的等价块导致了一个簇的两块进行交换



参考文献：
1．
Pictures from http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=67118&extra=page%3D1
2．
十二轴正六面体转棱魔方（直升机）球败解法
          http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=56319&extra=page%3D1

[ 本帖最后由 chuchudengren 于 2010-12-15 17:01 编辑 ]

潮州小魔王

精华技术帖，冲着jumble就该顶

耗子哥哥

不错，分析的很透彻，我憋着不看公式……

Xwam

LZ好牛的说，此贴收藏了，在此学习一下~~

奇遇

支持一下

kimimcfly

真的是很专业的评论

ZJY

精华帖啊，不过这些魔方我暂时还都没有。。。。。

喝着牛奶数星星

技术贴 看看

小Dove

LZ很牛叉的      学习 学习