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奧数题 [复制链接]

骰迷

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电梯直达

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发表于 2011-3-19 21:51:13 |只看该作者 |倒序浏览

令an=[n^2/2010],[]为取整函数。问從a1到a2010共有多少个不同的值。

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公式D F2 U L2 U B2 U R2 U R' F2 R L U L' R' U R L' U L U L U2 L' U' L U2 L'
数列11121131221231321332223233311

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kattokid

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发表于 2011-3-19 22:03:51 |只看该作者

大致估算2011个数，反正肯定不会超过这个数

编辑：刚才又想了下，一共才2011个数，所以。。。前面的推论全错了，看来不能太快下结论啊

感觉应该这么算：(n-1)²/2010-n²/2011<=1，求出n，剩下的就好办了

[ 本帖最后由 kattokid 于 2011-3-19 22:44 编辑 ]

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张李佳琦

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3^#

发表于 2011-3-19 22:06:30 |只看该作者

因为1/2010 <=an<=2010 . 所以 an 中有2010个整数，再加上一个0 ，应该是201 1个正数。

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Zeon.C

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发表于 2011-3-19 22:08:51 |只看该作者

Answer 1508
字数补丁

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Zeon.C

透魔

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5^#

发表于 2011-3-19 22:17:41 |只看该作者

考虑了一下，想不出证明方法。。。

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r_517

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发表于 2011-3-19 22:32:21 |只看该作者

很简单，考虑当n足够大时，a(n)-a(n-1)>=1。求出n即可

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r_517

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发表于 2011-3-19 23:19:56 |只看该作者

不知楼主明白了没有。。我再稍微详细说一下吧。

思路是这样的：考虑一个n假设a(n) = x，使得对于所有小于n的数，
0到x的所有值全能取到。而对于所有大于n的数k，都有a(k+1)>a(k)，所以最终答案便是x+1+(2010-(n+1)+1)

其充要条件也就是n=min((n+1)^2/2010 - n^2/2010 >=1)
上述方程式解得n=min(n>=1004.5)，因此n=1005
当n=1005时，a(n)=502
所以最终答案就是503 + (2010-1006+1) = 1508

[ 本帖最后由 r_517 于 2011-3-19 23:22 编辑 ]

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