一道概率题，求高手解答

西北天狼

多人摸彩球游戏，一个牛皮袋子里装着10个大小和重量都相同的彩球，1红，2黄，3蓝，4绿。
游戏规则，每人发20枚硬币，每个硬币可以摸1次，每次摸1个球，记下颜色后放回袋子里后打乱再摸，
直至摸到四种颜色的球或用完20枚硬币。最后剩余硬币最多的人获得优胜！
假设硬币个数不限，问平均每人要用掉多少枚硬币，才能至少摸到红黄蓝绿的彩球各一次？

[ 本帖最后由 西北天狼 于 2011-11-8 11:38 编辑 ]

潜水艇

我是来看二楼的。概率论考完后就再也没有想过这些问题，所以还是等高人来解答吧！

lulijie

编程模拟摸球过程，试验一百万次，结果是平均12.37次至少摸到红黄蓝绿的彩球各一次。
所以大约花费硬币12-13个，至少摸到红黄蓝绿的彩球各一次。

冷帝

以最少概率算，十个
红球最少，每次摸到的概率是1/10，所以我坚持是至少十个硬币
这个题出得，硬币环节完全可以不要，无用的环节直接影响心情，出题阐明重点就可以了
PS：红绿色盲再多硬币都干不到事~~~~~~~

鲲鹏

红绿色盲这一点很好玩哈

lulijie

精确的结果=445/36=12.361111111111111111111111111111

lulijie

设有n种颜色的球，颜色A、B、C、D......的球的摸中概率分别是a，b，c，d......
●摸到A颜色球的次数期望=1/a，记作p(A)
  即p(A)=1/a
●摸到A或B颜色球的次数期望=1/(a+b)，记作p(A+B)
  即p(A+B)=1/(a+b)
●摸到A且B颜色球的次数期望记作p(A*B)，经计算得其=(1+a/b+b/a)/(a+b)=1/(a+b)+a/(a+b)*1/b+b/(a+b)*1/a
对其的解释是和式的第一项1/(a+b)，表示p(A+B),其中摸到A的概率为a/(a+b)，其后再摸到B的期望次数为1/b；摸到B的概率为b/(a+b)，其后再摸到A的期望次数为1/a.
所以p(A*B)=p(A+B)+a/(a+b)*p(B)+b/(a+b)*p(A)
上式可以变形为p(A*B)=1/a+1/b-1/(a+b)=p(A)+p(B)-p(A+B)
●A、B、C颜色球摸到一种的次数期望记作p(A+B+C)=1/(a+b+c)
●p(A+B+C+D)=1/(a+b+c+d)
● 摸到A且B且C颜色球的次数期望记作p(A*B*C)，经计算得其=1/(a+b+c)*(1+c/a+c/b+a/c+a/b+b/a+b/c-a/(b+c)-b/(a+c)-c/(a+b))，也可变形为1/a+1/b+1/c-1/(a+b)-1/(a+c)-1/(b+c)+1/(a+b+c)
即p(A*B*C)=p(A)+p(B)+p(C)-p(A+B)-p(A+C)-p(B+C)+p(A+B+C)
●楼主所求的就是p(A*B*C*D)，其中a=0.1，b=0.2，c=0.3，d=0.4.
也有一个相似的计算公式，如下：
p(A*B*C*D)=p(A)+p(B)+p(C)+p(D)-p(A+B)-p(A+C)-p(A+D)-p(B+C)-p(B+D)-p(C+D)+p(A+B+C)+p(A+B+D)+p(A+C+D)+p(B+C+D)-p(A+B+C+D)
计算得p(A*B*C*D)=12.361111111111......，电脑模拟计算的结果12.37与其非常吻合。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2011-11-9 21:00 编辑 ]

西北天狼

谢谢lulijie！
期望值，符合“容斥原理”。结果很好！
delphi程序模拟结果是：
50000000 rounds average number of times = 12.36207534
50000000 rounds average number of times = 12.36278458
50000000 rounds average number of times = 12.36109244
50000000 rounds average number of times = 12.36272186