关于拓扑绳环的一点浅见

忧天杞人

普通绳环一般是九连环类的同理异形结构，它的特点是：绳套（或手柄）是封闭的，梁是开放的。
拓扑绳环则与之有着本质的区别，它的特点是：绳套是开放的，梁是封闭的。
如下图所示。

回想一下拓扑绳环的发展，“仙人摘桃”出现时间较早，且结构是基础形态，基本可以看做源头。

什么样的拓扑绳环可以解开呢？如下图，

上面一排，两个绳头位于梁的同一侧，可以解下，我称之为“活扣”，下面一排，两个绳头位于梁的两侧，无法加下，我称之为“死扣”。
那么能不能把绳头位置当做判断有无解的依据呢？看下图

这个绳结的两个绳头位于梁的同侧，但是却无解。细看可知它是由一个“活扣”和一个“死扣”组成，“活扣”解开后，就剩下一个“死扣”了。
再回到刚才的问题上，到底怎么判断绳结的死活呢？
我们知道，绳子通过封闭的梁有有两种状态：进、出。把“进”用1表示，“出”用-1表示，
现在从绳子的一段开始，沿绳子走向记下每个单绳结的状态，最后把所有的状态值加起来，结果为零的就是“活扣”，否则就是“死扣”。举例说明

明白了死活的判断方法，那么面对一个拓扑绳环该如何来解呢？
首先要找出每个单绳结，然后让其中某些绳结沿梁滑动，把全部绳结合并到一处，进而判断其死活，如果是活结，解开就不是难事了。
以传统的“仙人摘桃”为例，首先找到两个单节，将其中一个沿梁滑动至另一个单节处，结果可以看出这是活结。



接下来的难题就是，什么样的环上的绳结能够合并到一处呢？可惜目前我还不敢得出明确的结论。我这里说说的我的猜想，（正确与否，有待验证），不管多复杂的梁，只要通过不断变形，如果最终能成为一个圆，我称之为“活梁”；最终不能形成一个圆的，我称之为“死梁”。只有“活梁”上的绳结可以合并至一处。
看图示例，ddk的“立交路”和“六出祁山”就是“活梁”


而这个就是“死梁”

结论：只有同时满足“活梁”“活扣”两个条件的拓扑绳环才是有解的。

[ 本帖最后由 忧天杞人 于 2012-3-16 21:50 编辑 ]

问道者

经常能看到这样关于绳环的拓扑解释，一定受益匪浅。而且通俗易懂。

[ 本帖最后由 问道者 于 2012-3-15 12:40 编辑 ]

管窥子

获益匪浅！
支持理论研究。
钓金龟、双蜗揽月是拓扑绳环吗？

忧天杞人

不算吧，这俩都是摘环的。

poe

猜想叙述不明确，”这个环上的所有绳结可以合并至一处“需严格定义。你的问题本质上是判断两个纽结构成的链环是否可分，建议参考纽结方面的理论著作（楼主经常提到拓扑或拓扑变换，最好先把它们的数学定义搞清楚）。这里我给出一个简便的方法：首先算出原始谜题对应链环的基本群，然后算出梁和绳圈分离之后（假定能分离）对应链环的基本群，若两个基本群同构则可解，否则不可解。（当然，判断是否可解的算法及求解的算法肯定是NP-困难的。）

[ 本帖最后由 poe 于 2012-3-15 17:01 编辑 ]

poe

对于梁和绳圈可以进行任意拉伸收缩变换的谜题，用上面我提到的基本群可以直接给出判别法则（算出梁和绳圈补空间的基本群（梁不是纽结也可以））。但是如果谜题有刚性限制，则不存在一般方法，需对具体的谜题引入具体的方法。

忧天杞人

遇到高人了。心生惭愧。电脑里有相关的几本书，随便翻了翻，但一看到概念名词就心生畏惧，一直未能细读。

忧天杞人

帖中所说只是本人用土办法得出的一点经验，远远说不上什么理论。

poe

此贴已删除。

[ 本帖最后由 poe 于 2012-3-15 22:46 编辑 ]

poe

此贴已删除。

[ 本帖最后由 poe 于 2012-3-15 22:46 编辑 ]