状态数是1的N阶魔方有多少种着色方法？

黑白子

N阶魔方的状态数因着色不同而有不同的答案。那么，状态数是1的N阶魔方有多少种着色方法？

黑白子

乌木 发表于 2012-7-16 11:09
不会算，填色两个打不乱的魔方吧：
[java4=300,300]
  SupersetENG[/param]

乌木老师给出了精彩解答，还漏掉了一种方案。

黑白子

rubik-fan 发表于 2012-7-17 11:10
楼主应该首先规定可以使用的颜色种类。
如果任意使用颜色的话，该题无解

颜色种类自选，只需满足该题的答案即可。

黑白子

PKUSMSBQ 发表于 2012-7-17 12:17
是问你一共有几种颜色可以选择

这正是问题的答案

黑白子

rubik-fan 发表于 2012-7-17 14:10
看来你真是没看懂我的意思。有多少个颜色，就可以做多少个纯色魔方是状态数是1.
只有限定：最多选用6个颜 ...

那就补充一点吧，给定m种不同颜色。请你算算有多少种答案？

黑白子

乌木 发表于 2012-7-17 16:25
我对这题目的理解是，无论如何填色（包括不填色），也无论多少颜色，如何使一个N阶魔方打不乱（因而也就无所 ...

正是这个意思

黑白子

rubik-fan 发表于 2012-7-17 16:56
补充了这一点之后，楼主的问题变得很有意思。
说一下思路：
1、n阶魔方之所以会出现多种状态，是因为同簇 ...

关于第2点，边棱块也可以填2种颜色（您在2楼已给出了方案）。这个有多少种呢？
第三种方案就是各面单色（包括不着色），首先能想到的答案。即14楼的(m+1)种.

黑白子

如果是2阶魔方，答案是m种（不考虑不着色）。
2阶以上情况变得复杂了。
3阶魔方的情况，例如n=3，m=3时
因为3阶魔方共有3种簇，所以
1、3种颜色仅使用1种颜色时，有3种方法；
2、3种颜色仅使用2种颜色时
第一步：先确定使用哪2种颜色
先从3种颜色中任选2种颜色，有3种方法；
第二步：确定给哪些簇着色，共3种组合；
第三步：再用2种颜色给每种组合着色，有2种方法
根据乘法原理，共有3*3*2=18种方法。
3、3种颜色都使用时
第一步：确定给哪些簇着色，共3种；
第三步：再用3种颜色给每种组合着色，有3!=6种方法
根据加法原理共有3+18+6=27，即共有27种方法。3阶魔方最多能使用3种颜色。
这么思考有重复和遗漏吗？
4阶魔方也是3种簇，但中棱块簇既可以使用1种颜色，也可以使用2种颜色。情况更加复杂。

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西北天狼 发表于 2012-7-18 11:35
归根结底，问题的实质是：状态数是1的N阶魔方最多能有几种颜色同时着色？

不是，那只是“副产品”。主题是说已知m种颜色，从m种颜色中任意选取多种颜色（即可以不选、可以选1种、2种……m种，也可能用不到m种）为n阶魔方着色，使得n阶魔方的状态数是1，即无论怎么旋转魔方（转层也好、整体也行……），也不管用什么做参照物，任何人从任何角度看到这个魔方，状态完全相同。这样的魔方无法打乱，没有周期、没有最小步、没有扰动。

黑白子

计算难度比我当初想象的大。