鬼谷子问徒

simpley

孙膑,庞涓都是鬼谷子的徒弟,一天鬼谷子出了这道题目:他从2到99选出两个不同的整数,把积告诉孙,把和告诉庞.庞说:我虽不能确定这两个数是什么,但是我肯定你也不知道这两个数是什么.孙说:我本来的确不知道,但是听你这么一说,我现在能确定这两个数字了.庞说既然你这么说,我现在也知道这两个数字是什么了.请问这两个数字是什么?为什么?

tarzan

是13
还有4?

魔鱼儿

这个问题还真是不简单啊，呵呵。不会分析啊，哪位分析一下。

simpley

在百度可以搜索到鬼谷子问徒,但我认为它的解答是有问题的,不过可以为大家提供一种思路

bbshanwei

换汤不换药，看过一个类似的说是老师的生日。 大同小异。

kexin_xiao

最近又开始新一轮发题目了,看看

simpley

有人研究过这个问题没有

whitetiger

<P>网上搜索，可以看到正确的解题思路的。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>其实，比较容易得到思路的。</P>
<P>一共3句话，一句句分析。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>开始，一共有98×97÷2=4753种可能。确定了和与积，就确定了一对数。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>根据庞涓第一句话的前半部分，可以把所有和的可能性排一下，排除不重复的；（这个比较简单，只有5和197是不重复的。）</P>
<P>根据庞涓第一句话的后半部分，可以把所有积的可能性排一下，排除不重复的。</P>
<P>然后根据孙膑的话，可以把剩下的和的可能性再排一下，排除重复的。</P>
<P>最后根据庞涓的话，再把剩下的积的可能性再排一下，排除重复的。（这步是否要做，要看前一步是否能得到唯一值，不过初步估计是要做的。）</P>
<P>现在应该只剩下唯一的解答了。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>各种解题思路不同的就是，怎么把上述的步骤化成可人工简单笔算的，在最短的时间里分析出答案。</P>

whitetiger

<P>第一步比较简单，主要在素数上做文章。</P>
<P>1）要排除两个素数之和。</P>
<P>“哥德巴赫猜想”对于较小的数字均成立，所以所有的偶数均被排除。</P>
<P>还有就是“素数+2”型的奇数也要被排除。</P>
<P>2）大素数与其它数之和也要被排除。</P>
<P>这里的“大素数”指的是除了其本身，它的倍数均在规定范围之外。</P>
<P>对于本题目，99是高限，53及以上的素数均属于大素数。</P>
<P>53+2=55及以上的数均要被排除。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>所以，可能的和只可能是：</P>
<P>11，17，23，27，29，35，37，41，47，51，53。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>当然，眼睛尖的话，可以把51挑出来，51=17×3=17+(17×2)，如果积是2×17×17，那么还是能马上确定两个数的。</P>

大魔王檀石槐

答案:4和13

     答案并不重要，重要的是你运用了什么思维和方法。本题从逻辑否定中得出了逻辑肯定的结论。有点特殊，呵呵！
网上的3种解法我看了。除了第1种枚举试商法外，另外2种都有点毛病。现将本人的解法公布，请大家指教。我们解数学题，用的最多的是演绎法，即套用公式；这道题中大量运用了归纳法，呵呵！演绎是从一般到特殊，归纳是从特殊到一般。那个**说还有比这更好的，说是引用老马的结论，排除了41以上的——KAO，老马是谁啊？

　题目解答分析：对于这两个数，（逐步缩小范围法）逻辑推理有以下四种情况：
Ⅰ庞不知孙知，
Ⅱ庞孙皆不知，
Ⅲ庞孙皆知，
Ⅳ庞知孙不知。
定义：

P：庞涓手上的数字
S：孙膑手上的数字
X、Y为这两个数字，2≤X<Y≤99
那么： P=X+Y
       S=XY

事件1：庞涓首先开口道，“虽然我不能确定这两个数是什么，但是我可以肯定，你也不知
道这两个整数是什么。”
事件2：听庞涓这么一说，孙膑立刻笑了，他说道，“庞师兄，我本来确实不知道这两个数
是什么。听你这么一说，我倒是知道这两个数是什么了。”
事件3：庞涓也仰天大笑道，“孙师弟，既然你都这么说了，我也知道这两个数是什么了。”


造成本题难解的原因是由于信息的不对等，信息一点点地给出，答案一点点地显现。孙膑的信息最精确（他分解因式的可能组合一般较少），首先解出，其次是庞涓，然后是我们。我们的推理思维是从逻辑上排除不可能，剩下的就是可能的了。这样就减小了运算量。如果你一个个个去试，除非你是计算机！那么我们采取的排除步骤就是尽可能地前一步的排除效率大点，便于快速缩小范围，减小运算量。
排除效率：比如下面(B)中我们否定P>53（排除了144个）的就比(A)中我们否定P=5，6，196，197（排除了4个）的效率大。

推理过程：
一、        事件1发生前，庞涓手上的数字P是5-197之间的数字。即： 5≤P≤197。
      已知：2≤X<Y≤99。

庞涓不知道又能确定孙膑肯定不知道这两个数，这属于第Ⅳ种情况。
此时我们可以有以下推论：


(A)        排除第Ⅲ种情况。
若P=5，有且仅有P=2+3，S=2×3；
若P=6，有且仅有P=2+4，S=2×4；
若P=196，有且仅有P=97+99，S=97×99；
若P=197，有且仅有P=98+99，S=98×99；

那么有： 7≤P≤195。

(B) 庞涓的和数P一定不是大于53的数。也就是否定了55≤P≤195。因为大于53的数可分为以下两种情况讨论：
1.假设55≤P≤152，P可以表达为P=53+（P-53），如果孙膑拿到的S正好等于53（P-53），这个数只能表达为53×（P-53），孙膑一下子就给出答案了——这属于第Ⅰ种情况，这就与庞涓的第一句话相矛盾（即应属于第Ⅳ种情况）。
2.假设153≤P≤195，P可以表达为P=97+（P-97），证明方法同上。
那么有： 7≤P≤53。

(C)        庞涓的和数P一定是奇数。假设P是偶数，由歌德巴赫猜想（100之内的大于4的偶数已经证明是成立的），我们进一步假设P可以表达为两个不相等的奇质数之和。那么，孙膑就有可能不经提示给出答案了——这属于第Ⅰ种情况，这就与庞涓的第一句话相矛盾。显然，对于 7≤P≤53间的偶数，还有一种可能——P是某个奇质数的2倍，孙膑有没有可能不经提示给出答案呢？把10，14，22，26，34，38，46一一试过，我们可以发现它们可以表达为两个不相等的奇质数之和。(歌德巴赫猜想说，任何一个大于4的偶数都可以表达为两个奇质数之和。这显然包括两个质数相等的情况。说点题外话：如果证明了任何一个大于6的偶数都可以表达为两个不相等的奇质数之和，那么歌德巴赫猜想的这一点也必然成立。）
（D）庞涓手上的P不能表达为2+M。（M为质数）
假设P=2+M成立，而孙膑拿到的S正好等于2M；那么，孙膑一下子就给出答案了——这属于第Ⅰ种情况，这就与庞涓的第一句话相矛盾。

这样就只剩下： 11，17，23，27，29，35，37，41，47，51，53。


假设P=51，而孙膑拿到的S正好等于17×34，S只有S=17×34这一种组合方式，那么，孙膑一下子就给出答案了——这属于第Ⅰ种情况，这就与庞涓的第一句话相矛盾。


满足以上条件的这样的数字只剩下10个：11，17，23，27，29，35，37，41，53。

定义：C={11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}

二、        以上结论孙膑可通过庞涓的第一句得出。他知道，P为奇数且为以上10个数中的一个。P必拆成两数之和，一奇一偶，且至少有一个数是合数：如果偶的那个等于2，我们上面的步骤已经保证奇的那个是合数；如果偶的那个大于2，它必是合数。也就是说，S在拆为两个数的时候，必须把所有的2都分到其中的一个数中去，即2^n不能拆开。孙膑结合自己知道的S，排除其他组合，得出了唯一一组解。

三、        庞涓根据孙膑的话，将P的其他组合排除，得出了唯一一组解。那么他采取的是什么办法来排除呢？将S分解因式，讨论以下几种特殊情况：

1. 若 S=2^n*a  (n为自然数且n>1)
2. 若 S=2*a*b
3. 若 S=2*a^2（a、b均为奇质数且不相等）
对于第1种，孙膑由P为奇数马上得出组合（2^n，a）。于是孙膑可以马上说自己知道了答案：（2^n，a）。
对于第2种，孙膑必然会在（2，ab）与（2a，b）至少两组之间苦恼不已（a与b可互换）。让我证明为什么至少两组，你数学水平高来证明一下这个猜想吧！我只知道若有被排除的那一组，是因为其和不在集合C中。那么，显然与孙膑的话矛盾。也就是说，庞涓将P拆为两个数时可以否定这种组合。
对于第3种，可以拆为（2，A^2 ）、（2A，A）。对于（2A，A），2A与A之和3A是否在C中？我们一看，没有。所以孙膑可以马上说自己知道了答案：（2，A^2 ）。

庞涓将P拆为两个数的所有的可能列出，有且仅有一种组合是满足条件的。然后他才能宣布他也知道了。我们在否定C中的某个数时，运用的是否定“庞涓听了孙膑的话后，得出了至少两组解”这种与事件3矛盾的情况，将C集合中的数一一试过。因为正面强攻才难，所以就侧面反证之。

假设P=11，你是庞涓，有以下四种组合，开始验证吧：
（2，9） S=2 ×3^2   孙膑有唯一一组解（2，9）； (S=2*a^2型）
（3，8） S=2^3×3    孙膑有唯一一组解（3，8）；（S=2^n*a 型）
（4，7）         不用再拆了，庞涓已经傻脸了：现在就有两种选择啦！
（5，6）

假设P=17，你是庞涓，有以下四组：
  （2，15） S=2 ×3×5可拆为（2，15），（3，10），（5，6）。孙膑傻脸了：我真的不知道啊！（3，10）3，10之和不在C中，故排除。孙膑有两组解（2，15），（5，6）。这就 与孙膑的话矛盾。故P=2+15这种拆法是不对的；（S=2*a*b 型）
（3，14）S=2 ×3×7。这与上面的类型相同，此种拆法不对；
（4，13）S=2^2 ×13。证法同上面11中的（3，8）。孙膑有唯一一组解（4，13）；
（5，12）S=2 ^2×3×5，这与将17拆为2+15的证法大同小异。孙膑无语中……这种拆法是不对的；
（6，11）S=2 ×3×11。这与上面的2+15类型相同，此种拆法不对；
（7，10）S=2 ×5×7。这与上面的类型相同，此种拆法不对；
（8， 9）S=2 ^3×3×3，可拆为（8，9），（3，24）。孙膑有两组解，此种拆法不对；
因而，庞涓也是有唯一一组解：（4，13）。此为本题的一组解。我们假设余下的都不是的。庞涓将P拆为两个数的所有的可能列出，有且仅有一种组合是满足条件的。然后他才能宣布他也知道了。我们只要证明余下的数拆分时得出“庞涓有至少两组解”这种与事件3矛盾的情况。因为正面强攻难，所以就侧面反证之。

通过以上三的推理过程，以23为例，只要能构筑形如 2^n+a 或2+a^2这样的组合两对，就可以将其排除啦。手推最快速的就是将23与4，8，16分相减，如差为质数，则为一种组合。显然有（4，19），（16，7）。
对于27有（4，23），（8，19）；
对于29有（16，13）；我们来看（4，25），这个4×25还有另一种拆法20×5，因为20与5之和不在C中，故（4，25）也可以算作一种组合；
对于35有（4，31），（16，19）；
对于37有（8，29），（32， 5）；
对于41有（4，37）；我们来看（32，9），这个32×9只有这一种拆法啦，你拆成96×3就出界啦；
对于47有（4，43），（16，31）；
对于53有（16，37）；我们来看（32，21），这个32×21只有这一种拆法啦，理由同上面的41……








   

后记：

根据庞涓第一句话，我们得出了P在 C={11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}中。这条信息孙也知道了。他结合自己的积S马上排除除至少一个可能，得出唯一的一个答案。现在该庞推断了。他通过孙传递的信息——孙排除至少一个可能，得出唯一的一个答案，对自己的P进行分析排除，也得出唯一的一个答案。最后根据鬼谷子的结论，他们的答案是相同的。
各种解题思路不同的就是，怎么把上述的步骤化成可人工简单笔算的，在最短的时间里分析出答案。我写得有点啰嗦，因为这是推理嘛，占有信息越多越好。

[ 本帖最后由 大魔王檀石槐 于 2009-3-7 08:32 编辑 ]