拼立方体－5480个花样－60道立体造型题

乌木

当初我不大会发帖，下面3～5楼烟兄帮我贴出，现在，论坛多次升级，3～5楼的内容看不清了，我在这1楼把内容贴出。2012.5.30.

拼 立 方 体

有一种拼装型智力积木由九个零件组成，每个零件含三或四个小立方体单元（不可分，即“三连方”或“四连方”），它们的形状和颜色见图1。材质为塑料或木头。


玩法一：
取七件拼装成一个3×3×3单元的大立方体。
所取七件应该共含27个小单元，取法为1件三连方的和6件四连方的。
有两种三连方零件，取其一；
其余七件中任取六件，有7种取法；
共有7×2＝14组。
同一七件组，可拼出不止一种花样的立方体，数目有多有少。
我们用穷举法算得拼立方体的话，有3372个花样（见表1）。
随玩具还附有一套卡片，为60道拼立体造型的题目。

若所取七件共含26个小单元（两种三连方的都取；其余七件四连方中任取五件的取法有21种），则可以拼成空心的大立方体，算得拼法总数为2108种。

表1  不同的七件组的拼法数：

1、实心立方体：

	不取的零件	拼法种数
1	1白，3橙	480
2	1白，4红	442
3	1白，5黄	78
4	1白，6棕	94
5	1白，7蓝	522
6	1白，8紫	337*
7	1白，9绿	337*
8	2黑，3橙	276
9	2黑，4红	198
10	2黑，5黄	54
11	2黑，6棕	无解
12	2黑，7蓝	64
13	2黑，8紫	245*
14	2黑，9绿	245*
	小  计	3372

2、空心立方体：

	不取的零件	拼法种数
1	3橙，4红	130
2	3橙，5黄	24
3	3橙，6棕	80
4	3橙，7蓝	174
5	3橙，8紫	143*
6	3橙，9绿	143*
7	4红，5黄	26
8	4红，6棕	94
9	4红，7蓝	170
10	4红，8紫	109*
11	4红，9绿	109*
12	5黄，6棕	12
13	5黄，7蓝	36
14	5黄，8紫	20*
15	5黄，9绿	20*
16	6棕，7蓝	76
17	6棕，8紫	92*
18	6棕，9绿	92*
19	7蓝，8紫	175*
20	7蓝，9绿	175*
21	8紫，9绿	208
	小  计	2108

这5480个立方体中，一半对一半，一一对称。但一双对称的立方体中，零件8和9位置对称而颜色不同。其余零件位置和颜色都对称。究其原因，乃零件1到7，每个零件内部都含有对称面；而零件8和9则没有（相当于左手和右手）。

表1中不打*号的七件组，由于每个立方体同时含零件8和9，或者8和9都不取（第21组），故每一组内部就一半对一半，一一成对。（因而这些组的拼法数都是偶数。）例见图2，其中没有1白和3橙，所以是表1的实心第1组480个拼法中的两个。图2的两个实心立方体互相对称，成为一对。


而打*号的七件组，由于同一组的立方体只含一个零件8或一个零件9，同一组内的立方体无法配对，但和相应的邻组一一对称。（实心6组—实心7组，空心17组—空心18组，等等，相关两组各自的拼法数不一定是偶数，但要相等。）例如图3中两个空心立方体对称，分属第17、18组。

为增加趣味和训练空间方位感，做好一个立方体后，可让别人判断它是实心的还是空心的；是实心的话，其中心单元又是什么颜色。然后，练练“变”花样：看出并重排少数几个零件，得新花样立方体。

玩法二：
不取零件1和3，只用其余七件。不拼立方体，而是拼出指定的立体花样，相当于立体七巧板。
有人编了60个立体花样题图。当然，题图中看不出零件的拼装法，只见一个个同色的小立方体单元“堆砌”成的立体造型。有的像动物，有的像建筑物，有的是立体的几何图案。另附拼法答案——分解图。
实践表明，同一造型往往不止一种拼法。
图4给出这种题目的两例：

                             
                     

天亮

感谢乌木朋友为我们带来许多新鲜的内容。

最好能直接把内容发到论坛里，方便大家阅读，在此我代表魔方吧的朋友谢了。

大烟头

拼装型智力积木

　　有一种拼装型智力积木由九个零件组成，每个零件含三或四个小立方体单元（不可分），它们的形状和颜色见图1。材质为塑料或木头，也可用纸自制。（有的产品零件 9除颜色为绿外，形状同零件8。余八件同图1。其5980种拼法也已算得。）

玩法一：

　　取七件拼装成一个 3×3×3单元的大立方体。若所取七件共含27个小单元，则要求拼成 实心 的大立方体。（取法为一件3单元的和六件4单元的。有两种3单元零件，取其一；余七件中任取六件，有7种取法；共有7×2＝14组）；若所取七件共含26个小单元，则要求拼成 空心 的大立方体。（两种3单元的都取；七件中任取五件的取法有21种）。同一七件组，可拼出不止一种花样的立方体。数目有多有少。笔者配合南大余老师算得全部 5480 种拼法。有意思的是，有一组居然无解。见表1（楼下）：

大烟头

表 1 ：不同的七件组的拼法数
空心 立方体			实心　立方体
	不取的零件	拼法种数		不取的零件	拼法种数
1	3橙，4红	130	1	1白，3橙	480
2	3橙，5黄	24	2	1白，4红	442
3	3橙，6棕	80	3	1白，5黄	78
4	3橙，7蓝	174	4	1白，6棕	94
*5	3橙，8紫	143	5	1白，7蓝	522
*6	3橙，9绿	143	*6	1白，8紫	337
7	4红，5黄	26	*7	1白，9绿	337
8	4红，6棕	94	8	2黑，3橙	276
9	4红，7蓝	170	9	2黑，4红	198
*10	4红，8紫	109	10	2黑，5黄	54
*11	4红，9绿	109	11	2黑，6棕	无 解
12	5黄，6棕	12	12	2黑，7蓝	64
13	5黄，7蓝	36	*13	2黑，8紫	245
*14	5黄，8紫	20	*14	2黑，9绿	245
*15	5黄，9绿	20	小 计		3372
16	6棕，7蓝	76	合计 5480 种
*17	6棕，8紫	92
*18	6棕，9绿	92
*19	7蓝，8紫	175
*20	7蓝，9绿	175
21	8紫，9绿	208
小 计		2108

大烟头

　　这 5480个立方体中，一半对一半，一一对称。但一双对称的立方体中，零件8和9位置对称而颜色不同。其余零件位置和颜色都对称。究其原因，乃零件1到7，每个零件内部都含有对称面；而零件8和9则没有（相当于左手和右手）。若把零件8和9的颜色弄得一样的话，则区别不直观，颜色少了一色，且大立方体的花样也不“匀”；若再配两个备用零件8绿和9紫，则虽可解决颜色对称问题，但利少弊多，平添混乱。还是 不计较零件 8、9的颜色差别 为好。

　　表 1中不打*号的七件组，由于每个立方体同时含零件8和9，或者8和9都不取（第21组），故每一组内部就一半对一半，一一成对。（因而这些组的拼法数都是偶数。）例见图2，其中没有1白和3橙，所以是表1（左）第1组480个拼法中的两个。图2两个实心立方体互相对称，成为一对。而打*号的七件组，由于同一组的立方体只含一个零件8或一个零件9，同一组内的立方体无法配对，但和相应的邻组一一对称。（左6组—左7组，17组—18组等等，相关两组各自的拼法数不一定是偶数，但要相等。）例如图3中两个空心立方体对称，分属第17、18组。

　　已经把 5480个（以及图1旁注中5980个）立方体花样（如图2、3所示）全部画出。为便于查找，也设法编出了目录。需要详情者，请与笔者联系： yumin598@163.com

　　为增加趣味和训练空间方位感，做好一个立方体后，可让别人判断它是实心的还是空心的；是实心的话，其中心单元又是什么颜色。然后，练练“变”花样：看出并重排少数几个零件，得新花样立方体。

玩法二 ：

　　不取零件 1和3，只用其余七件。不拼立方体，而是拼出指定的立体花样，相当于 立体七巧板 。有人编了 60个立体花样题图。当然，题图中看不出零件的拼装法，只见一个个同色的小立方体单元“堆砌”成的立体造型。有的像动物，有的像建筑物，有的是立体的几何图案。另附拼法答案——分解图。实践表明，同一造型往往不止一种拼法。图4给出两例，欲知详情请与笔者联系。

图 4

－－－M.Yu （乌木著）2004/11/9

乌木

谢谢“烟兄”帮我直接贴出。

图的数量太多，魔方吧的上下流量又有限，我看不宜全部贴出。下面仅贴两幅作样子。我总感到其中隐含着什么数学规律？！例如,如何解释不取黑件和棕件的七件组拼不出一个3x3x3立方体? 等等。
一位学物理的看了后觉得用不同的颜色来表征元件不是个事；但“夸克”也是用“色”来称呼它们的属性，故这儿用颜色描述未尝不可，当然颜色和形状要固定定义，云云。



[ 本帖最后由 乌木 于 2009-2-6 16:19 编辑 ]

乌木

勘误：第5楼

误：“图2是表1（ 左 ）第1组480个拼法中的两个。”

正：“图2是表1（实心）第1组480个拼法中的两个。”

[此贴子已经被作者于2005-3-31 16:46:24编辑过]

乌木

同一立体造型的拼法往往不止一种，大家有不同的答案不妨也贴出来。下面把第5楼图4的拼法（之一）贴出：



[ 本帖最后由 乌木 于 2009-2-6 16:23 编辑 ]

乌木

又两个题目：


[ 本帖最后由 乌木 于 2009-2-6 16:25 编辑 ]

乌木

再拼个小花狗：

[此贴子已经被作者于2005-3-31 23:59:19编辑过]