[原创]魔方循环变换理论概述 （待完善）

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魔方状态变换序列

先给一个“终极状态”的特例：（请参考“终极状态”）

本文所涉及的内容默认为“正六面体三阶魔方”，可以很容易扩展到其它各类 魔方中去。为使结论尽量不产生偶然的冲突，特规定 旋转 180 度为 2 步！

为了阐述方便，下面先引入几个描述性的概念： 描述性理解的概念有：状态、终极状态、路过、偶尔路过、出路。

1.状态：本文所提的所有的“状态”均为从“初始状态”出发，由某一最少步 变换序列而产生的“状态”。通常我们用这个最少步变换序列表示这个“状态”。 一个“状态”往往可以有很多“最少步变换序列”！ 比如：从 初始状态 出发，由最少步变换序列 r1 r1 产生的状态，记作： 状态 r1 r1 。当然 状态 r1 r1 有两个最少步变换序列： r1 r1 和 r3 r3 。

2.路过：如果 状态 A 的步长大于 1 ，并且最少步变换序列 A 是唯一最少步， 变换序列 B 为去掉 变换序列 A 最后 一个 步长为 1 的变换 的 任一子变换序列， 此时我们称 状态 A “路过” 状态 B 。 比如：状态 r1 u1 f1 是唯一最少步变换序列，则 状态 r1 u1 f1 分别 路过 状态 r1 、状态 u1 、状态 r1 u1 。

3.偶尔路过：如果 状态 A 的步长大于 1 ，并且变换序列 A 不是唯一最少步， 变换序列 B 为去掉 变换序列 A 最后 一个 步长为 1 的变换 的 任一子变换序列， 此时我们称 状态 A “偶尔路过” 状态 B 。 比如：状态 r1 r1 不是唯一最少步变换序列，则 状态 r1 r1 分别 偶尔路过 状态 r1 、状态 r3 。 这是因为 状态 r1 r1 和 状态 r3 r3 为同一状态的 两个最少步变换序列。

4.终极状态：设 c 为任意一个步长为 1 的变换，对于状态 A 存在一个由 c 结束的最少步变换序列 B ，使得 A = B ，则称状态 A 为“终极状态”。 由 [宇宙飞碟] 的 离初始状态最远的图案 的定理可知： 任一 离初始状态最远的状态 都为 终极状态 ，但反过来说却是错误的！

5.出路：如果 状态 A 不是 终极状态，我们称 状态 A 有 “出路” 。 只有 状态 A 有 出路时，我们才有可能沿着状态 A 的 出路 构造比 状态 A 更远的 状态 ！而寻找这种 出路 ，照目前看来，在没有更先进的理论面世之前， 也只能用“循环变换”理论更容易些了！

定理：任一 状态 不 偶尔路过 某一 终极状态 。

证明非常简单，因为若一个状态 P 偶尔路过 某一 终极状态，设状态 P 变换序列为 a1 a2 ... b1 b2 ... bm -c ... an ，其中 b1 b2 ... bm 为终极状态，那么对于这个 终极状态 b1 b2 ... bm ，存在一个由 c 结束的最少步变换序列 c1 c2 ... c(m-1) c ， 使得 b1 b2 ... bm = c1 c2 ... c(m-1) c ，这时我们发现，变换序列 P 已经变为 a1 a2 ... b1 b2 ... bm -c ... an = a1 a2 ... c1 c2 ... c(m-1) c -c ... an ， a1 a2 ... b1 b2 ... bm -c ... an = a1 a2 ... c1 c2 ... c(m-1) ... an ，即说明 P = a1 a2 ... b1 b2 ... bm -c ... an 不是 最少步变换序列，这与 状态 的概念矛盾， 故定理得证。

由上面的定理直接得到： 离初始状态最远的状态 不 偶尔路过 某一 终极状态 。

这个定理告诉我们，如果一个状态是 终极状态 ，那么它有可能是一个 离初始状态 最远的状态 ，如果它不是 最远的状态 ，那么我们不可能再通过这个 终极状态 来构造 其它任何 状态 ，当然更不可能通过这个 终极状态 来构造 离初始状态最远的状态 了！ 呵呵，希望魔友们在寻找 离初始状态最远的状态 时一定要避开 终极状态 的暗礁呀！

乌木

对循环变换我不懂，这里仅对老猫那16步提个问题。为何要写成“UULLRRU'DDU'LLRRDD”而不写成“UULLRRDDUULLRRDD”呢？

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乌木 先生的问题很好！UULLRRU'DDU'LLRRDD 与 UULLRRDDUULLRRDD 都是 循环变换， 但略有不同，比如“UULLRRU'D”与“UULLRRDD”两个子最少步就不一样。

总之，“魔方的循环变换”有很多，在用计算机编程解决具体某一魔方最少步问题时， 要对生成的循环变换库进行最大限度的优化，删减相近的循环变换，并要包含所有最少步， 使得循环变换库最小。

乌木

楼上回答我：“UULLRRU'DDU'LLRRDD 与 UULLRRDDUULLRRDD 都是 循环变换，但略有不同，比如‘UULLRRU'D’与‘UULLRRDD’两个子最少步就不一样。”

我当然还是不懂，未入门嘛。我现只能理解为：把...DDUU...或...UUDD...写成...U'DDU'...是 “别有用心” 的，大概门外人入门后自会懂其奥妙的。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-12 11:56 编辑 ]

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循环变换球面网

看到大家这两天都在研究“魔方网”，我也来这儿补补“循环变换球面网”！

要我说，“魔方态关系网”可以看成均匀分布在一个大球面上。这个球面的大圆就是长度最大的
“循环变换”，每一个“循环变换”都是这个球面上的大圆或小圆。呵呵，这只是一个形象的比喻。
所谓大圆就是球体表面最大的圆，它的特点是圆心就是球体的球心，其它的圆心不过球心的圆叫小圆。

大家可以研究一下“循环变换关系网”、“广义循环变换关系网”、“算子循环变换关系网”等等，
以及它们的异同并绘制它们的图形样本，这对大家的“各种网”都有帮助！我初步考虑可以这样绘制：

1.循环变换：圆（正三角、正方形等等都是“圆”）

2.广义循环变换：封闭的不规则图形

3. N 阶（即周期为 N ）算子循环变换： N 个全等花瓣连成的封闭图形

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我构造的 2×2 平面魔方“循环变换球面网”

2×2 平面魔方有 4 种操作 U 、 D 、 L 、 R 。 2×2 平面魔方的“循环变换球面网”
为“正八面体的循环变换球面网”（如图）。

请各位魔友注意，图中 A --> B 箭头表示：从 A 到 B 但还需要整体旋转后才能得到 B 。
图中不带箭头的可以互相转换；但带箭头的是不能互相转换的，转换后还需整体旋转。

我们不妨分别用 U 、 U+ 、 U2 、 U- 表示（D 、 L 、 R 操作同理）：
U 表示操作 U 后不需要再做整体旋转；
U+ 表示操作 U 后再做顺时针整体旋转；
U2 表示操作 U 后再做整体旋转 180 度；
U- 表示操作 U 后再做逆时针整体旋转。

由 2×2 平面魔方“正八面体的循环变换球面网”可以得出， 2×2 平面魔方“循环变换”
只有三种：

1. 步长为 2 的循环变换：如 U U （两点式圆）

2. 步长为 3 的循环变换：如 D R U- （正三角圆）

3. 步长为 4 的循环变换：如 D U D U （正方形圆）

其他的封闭多边形均是“广义循环变换”，当然可以构造出 N 阶（即周期为 N ）算子循环
变换。请感兴趣的魔友自己试试！

由 2×2 平面魔方“正八面体的循环变换球面网”可以得出，2×2 平面魔方总状态数只有 6 个
（经过整体旋转后相同的为同一状态）。最小循环变换为 2 个步长，最大循环变换为 4 个步长。

由最大循环变换为 4 个步长立即得到： 2×2 平面魔方
最远状态的最少步只有 2 个步长。[em07]
（即得 2×2 平面魔方任意两个状态之间最多需要 2 步），
比如： D U 就是 2×2 平面魔方的一个最远状态！

[此贴子已经被作者于2005-5-30 11:53:22编辑过]

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从上面的例子，大家可能对“循环变换球面网”已有了更进一步的认识。实际上各类魔方的
“循环变换”都构成“循环变换球面网”！

不过，请大家注意，这个“循环变换球面网”的球面可能不是“三维空间的球面网”，而是
“高维空间的球面网”！

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为了大家便于理解 2×2 平面魔方总状态数只有 6 个，我把这 6 个状态“解压缩”展开
给各位看（借用乌木先生的图）！

再附上“正八面体的循环变换球面网”图，让大家对照理解！

2×2 平面魔方有 4 种操作 U 、 D 、 L 、 R 。 2×2 平面魔方的“循环变换球面网”
为“正八面体的循环变换球面网”（如图）。

请各位魔友注意，图中 A --> B 箭头表示：从 A 到 B 但还需要整体旋转后才能得到 B 。
图中不带箭头的可以互相转换；但带箭头的是不能互相转换的，转换后还需整体旋转。

我们不妨分别用 U 、 U+ 、 U2 、 U- 表示（D 、 L 、 R 操作同理）：
U 表示操作 U 后不需要再做整体旋转；
U+ 表示操作 U 后再做顺时针整体旋转；
U2 表示操作 U 后再做整体旋转 180 度；
U- 表示操作 U 后再做逆时针整体旋转。

乌木

上午好像此处跟过帖，怎么看不到？再跟：
上面那网线改为经纬线，让它们也上球面来可能更好。
高维的东西能否尽量投影到三维，人脑易接受。

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下面再给出两个 2×2 平面魔方 24 态的关系网（它们不是“循环变换球面网”，因为
2×2 平面魔方 24 态“循环变换球面网”在三维空间中根本不存在，也就无法用三维空间
表示了。2×2 平面魔方 24 态“循环变换球面网”至少是一个四维空间的“球面网”。）

noski 先生的 24 态图：

乌木先生的24 态的关系网：

noski 先生的 24 态图是乌木先生的图的改进版，它们能够间接体现“循环变换球面网”。

因此 noski 先生的 24 态图已经是最好的用“三维立体图”构造“高维空间网”的表示
法了。但它不是 2×2 平面魔方 24 态“循环变换球面网”，而这个 24 态“循环变换球面网”
的确是存在的，不过是我们无法用“三维立体图” 表示罢了！因为三维空间根本不存在 24 个
顶点的正多面体！

[此贴子已经被作者于2005-6-1 12:29:46编辑过]