用石头剪刀布来玩魔方

aubell

用石头剪刀布来玩魔方

这是一种枯燥的运算，但也是一种有趣的运算。
你可以像把玩魔方一样，把玩这种运算。

定义一种乘法：


石头×剪刀=布
剪刀×布=石头
布×石头=剪刀

石头×石头= -1
剪刀×剪刀= -1
布×布=-1

这种乘法不满足交换律，但是满足结合律、分配律。

推论：
剪刀×石头=（布×石头）×石头=布×（石头×石头）=布×（-1）=-布
同理：
布×剪刀=-石头
石头×布=-剪刀

石头×剪刀×布=-1

以上规则的记忆方法：自乘得-1, 前胜直接写第三者，前负要加负号。

下文“石头”省略作“石”，剪刀略作“剪”。

下面开始应用这种乘法，算一些东西：
1.在一方块积木上试试
(1)任意挑选一个顶点，把机械表顶在这个定点上，保证你能正面看到它的走动，
按照秒针走的方向，在过这个定点的三个面上，顺序写上“石、剪、布”。
(2)做一个“布”操作：即把“布”面顺时针转90度;       
(与之类似的说法：做一个R操作，即把"R"面顺时针转90度;
或者是做一个U操作，即把"U"面顺时针转90度。 )                                               
(3)观察：“石头”面被发送到了“剪刀”面位置。
  这是这种乘法最直观的感觉：
  操作 × 面 = 面的新位置
（这只是一种感觉，不可以当真）;
（但这种感觉太真实了。）
（4）负值是什么意思？
  方块是有中心的，从方块内部中心往布面中心的方向，叫做布；那么掉头的方向就是负的了。
  （-布）表示布面的对面。
刚才的“布”操作把剪刀面发送到了原石头面的对面，
写成算式就是： 布×剪=-石

2.在二阶上试试
（1）在二阶内部正中心发出一根射线来，穿破布面中心（四个方块中间），这射线就是“布轴”正方向了;这条射线的反向延长线自然是布轴的负方向。
类似，“石轴”穿破“石面”，“剪轴”穿破剪面。
现在，三个轴的正方向围起来的角落里，有一个方块，我们叫它（石+剪+布）
三个轴的负方向围起来的角落里，有一个方块，我们叫它（-石-剪-布）
类似的，八个方块都可以用加法来标记，如(石+剪-布)等等。
（2）怎么开始转呢？
  转一个面，不能跟着感觉走了。
  石头、剪刀、布用在魔方上，是如此的不真实，是虚假的，那我们就叫它“虚”的吧。还要
  有点“实”的东西。我们重新安排，增加一个实数1，用(1+布)和(1-布)来产生绕“布轴”的旋转，同“布”操作方向一样。
  把(石+剪+布)方块绕布轴转过90度，这样做：
  (1/2)×（1+布）×（石+剪+布）×（1-布）
=（1/2）（石+剪+布+布石+布剪+布布）（1-布）
=（1/2）（石+剪+布+剪-石-1）（1-布）
=（1/2）（2剪+布-1）（1-布）
=（1/2）（2剪+布-1-2剪布-布布+布）
=（1/2）（2剪+布-1-2石+1+布）
=（1/2）（2剪+2布-2石）
= -石+剪+布
  可以在你的魔方上看一下，是否到了这个位置上来。  

  列算式的时候，把(1+布)和(1-布)写在两头，方块的初始位置写在中间。
  算出来带上系数（1/2）。
  其他方块的结果我不写了，如果你有兴趣，可以计算一下，看看是否正确。

  围绕“布轴”的旋转，用(1+布)和(1-布)产生;
  同样的道理，围绕“石轴”的旋转用(1+石)和(1-石)产生;
  围绕“剪轴”的旋转也用(1+剪)和(1-剪)产生。

  要记得系数1/2。
  其实这个1/2应该开平方，分配到(1+布)和(1-布)中各
  半个根号2。那样，算式写起来又很不方便。但那是最原始的样子。

(3)转两下怎么办？
接着两头乘！
(4)逆时针转怎么办？
接着两头乘！
(5)一直乘，步骤太麻烦？
先写好算式，然后用结合律，会发现，
180度旋转对应 (1+布)的平方 和 (1-布)的平方，
(1+布)(1+布)=(1+2布+布布)=2布
(1-布)(1-布)=(1-2布+布布)=-2布
也就是说，绕布轴旋转180度，只需要前面乘布，后面乘(-布)。

所以，多次的旋转，可以先乘好前面一头，另一头的算式实的不变，直接把“虚”的取反。

(6)为什么有时要调节系数？
因为使用(1+布)这样的旋转，同时还进行了伸缩变化;
如果用(sqrt(2)/2+ (sqrt(2)/2)布)这样的形式，就不需要调节系数了。
为了计算方便，可以先把所有的根号2都提区出来，最后调节。


（未完待续）




  

轻描淡写3333333

看到直接蒙圈了

aubell

http://support.supermap.com.cn/DataWarehouse/WebDocHelp/OnlineHelp/Flash3D/G_ProjectDocumentation/B_coordinate_system.html

一个讲左手系和右手系的页面，讲的很清晰。

至尊达哥

aubell 发表于 2015-7-12 17:15
5.这样表示有什么用？
  先插入回答这个问题。这样的表示，已经用在了很多魔方演示类程序的内部。这个 ...

魔方软件主要是用四元数吗？我想起了那个puzzler，鼠标太难操作，是因为四元数没有充分利用？

乌木

aubell 发表于 2015-7-12 09:04
表示旋转、姿态等历来有向量方法和四元数方法。

邱用的是向量方法，解析的很漂亮，但个人感觉没有必要 ...

原来这样，谢谢解释。

aubell

  6.在三阶魔方上试试
假定RFU面对应 i j k 面。现在研究RFD方块，先取它底面贴纸中心的坐标。（注意是贴纸的中心，不是方块的中心。方块中心的运动规律在二阶上已经讨论过了。）方块中心坐标是 (i +j -k)，贴纸更往下一点点，因此
坐标是(i + j -1.5k)，我们看公式RU'R'会把它送到哪里去（这三个步骤都会影响到该方块）。计算前面一头顺序与公式恰好是倒着做的，不如先计算后面一头吧。后面一头用的是(1 -i)(1-k)^3(1-i)^3，结果是(8+8j)，
那么前面一头应该乘的是(8-8j),最终调节系数应该除以128（因为一共有 7 个1/2)，最终的结果是 (1.5i +j +k) ，注意是 i 的方向凸出一点点，也就标志着贴纸在这个方向上。
(尽管只算一片贴纸，计算量也是比较大的。你可以尝试一下。)

aubell

至尊达哥 发表于 2015-7-12 16:09
额，没听说过啊，这么神奇。。。
顺便问一下，这个有什么用？

5.这样表示有什么用？
  先插入回答这个问题。这样的表示，已经用在了很多魔方演示类程序的内部。这个表示方法其实是很微观的，什么意思呢？这个表示，可以精确计算出魔方上（包括魔方内部）每一个点在任何时候的位置。在能用鼠标拖着转动的魔方程序内部，常常需要用到四元数来计算重要点的位置，然后把魔方实时绘制出来。也就是说，这个方法已经用来绘制能拖着转的魔方，久矣。
  至于用来表示魔方公式，表示宏观上的转动，可能意义不是非常大。因为计算量太大，恐非人力所能接受。但用在宏观上，就不需要计算所有的点了，只需要在某些贴纸中心挑选一个点就可一了。于是，计算量又不是非常大了。
  因为四元数本身，还有很多未解之谜，如果解开了，也许能够揭开魔方的秘密。
  宏观上，使用群论可能是最佳选择。但也可以尝试用微观世界的技术，来解析宏观世界，尽管那会很繁琐。

  题外话：如果你发现一个魔方演示类程序转动的非常顺手，非常平滑，非常流畅，我几乎可以90%肯定的告诉你，那程序核心里有一个虚拟的球体，跟踪记录了你鼠标的位置，并且使用了四元数;如果你发现有的程序中魔方转的太不顺手了，经常在某个位置会卡住，无法按照你的意愿拖动，那我也可以90%的肯定告诉你，因为那里面没有使用四元数。

至尊达哥

schuma 发表于 2015-7-12 07:33
这个代数规则跟四元数的 i j k 的乘法完全一样。从四元数最开始，人们就已经知道它和三维空间的旋转的关系了 ...

四元是四维空间吗？

至尊达哥

额，没听说过啊，这么神奇。。。
顺便问一下，这个有什么用？

aubell

schuma 发表于 2015-7-12 12:14
原来你是假装纯洁啊，这可不好啊

呵呵！使用“石头、剪刀、布”还有一个理由，那就是它们天生的克制顺序。
正是这种克制顺序导致了乘法运算的不可逆。

i,j,k则没有明显的讲明这一点，只是暗含在其中讲。

所以，我先用“石头、剪刀、布”代替一下，让初相见的人一眼就能知道这种天然的顺序。