用石头剪刀布来玩魔方

aubell

用石头剪刀布来玩魔方

这是一种枯燥的运算，但也是一种有趣的运算。
你可以像把玩魔方一样，把玩这种运算。

定义一种乘法：


石头×剪刀=布
剪刀×布=石头
布×石头=剪刀

石头×石头= -1
剪刀×剪刀= -1
布×布=-1

这种乘法不满足交换律，但是满足结合律、分配律。

推论：
剪刀×石头=（布×石头）×石头=布×（石头×石头）=布×（-1）=-布
同理：
布×剪刀=-石头
石头×布=-剪刀

石头×剪刀×布=-1

以上规则的记忆方法：自乘得-1, 前胜直接写第三者，前负要加负号。

下文“石头”省略作“石”，剪刀略作“剪”。

下面开始应用这种乘法，算一些东西：
1.在一方块积木上试试
(1)任意挑选一个顶点，把机械表顶在这个定点上，保证你能正面看到它的走动，
按照秒针走的方向，在过这个定点的三个面上，顺序写上“石、剪、布”。
(2)做一个“布”操作：即把“布”面顺时针转90度;       
(与之类似的说法：做一个R操作，即把"R"面顺时针转90度;
或者是做一个U操作，即把"U"面顺时针转90度。 )                                               
(3)观察：“石头”面被发送到了“剪刀”面位置。
  这是这种乘法最直观的感觉：
  操作 × 面 = 面的新位置
（这只是一种感觉，不可以当真）;
（但这种感觉太真实了。）
（4）负值是什么意思？
  方块是有中心的，从方块内部中心往布面中心的方向，叫做布；那么掉头的方向就是负的了。
  （-布）表示布面的对面。
刚才的“布”操作把剪刀面发送到了原石头面的对面，
写成算式就是： 布×剪=-石

2.在二阶上试试
（1）在二阶内部正中心发出一根射线来，穿破布面中心（四个方块中间），这射线就是“布轴”正方向了;这条射线的反向延长线自然是布轴的负方向。
类似，“石轴”穿破“石面”，“剪轴”穿破剪面。
现在，三个轴的正方向围起来的角落里，有一个方块，我们叫它（石+剪+布）
三个轴的负方向围起来的角落里，有一个方块，我们叫它（-石-剪-布）
类似的，八个方块都可以用加法来标记，如(石+剪-布)等等。
（2）怎么开始转呢？
  转一个面，不能跟着感觉走了。
  石头、剪刀、布用在魔方上，是如此的不真实，是虚假的，那我们就叫它“虚”的吧。还要
  有点“实”的东西。我们重新安排，增加一个实数1，用(1+布)和(1-布)来产生绕“布轴”的旋转，同“布”操作方向一样。
  把(石+剪+布)方块绕布轴转过90度，这样做：
  (1/2)×（1+布）×（石+剪+布）×（1-布）
=（1/2）（石+剪+布+布石+布剪+布布）（1-布）
=（1/2）（石+剪+布+剪-石-1）（1-布）
=（1/2）（2剪+布-1）（1-布）
=（1/2）（2剪+布-1-2剪布-布布+布）
=（1/2）（2剪+布-1-2石+1+布）
=（1/2）（2剪+2布-2石）
= -石+剪+布
  可以在你的魔方上看一下，是否到了这个位置上来。  

  列算式的时候，把(1+布)和(1-布)写在两头，方块的初始位置写在中间。
  算出来带上系数（1/2）。
  其他方块的结果我不写了，如果你有兴趣，可以计算一下，看看是否正确。

  围绕“布轴”的旋转，用(1+布)和(1-布)产生;
  同样的道理，围绕“石轴”的旋转用(1+石)和(1-石)产生;
  围绕“剪轴”的旋转也用(1+剪)和(1-剪)产生。

  要记得系数1/2。
  其实这个1/2应该开平方，分配到(1+布)和(1-布)中各
  半个根号2。那样，算式写起来又很不方便。但那是最原始的样子。

(3)转两下怎么办？
接着两头乘！
(4)逆时针转怎么办？
接着两头乘！
(5)一直乘，步骤太麻烦？
先写好算式，然后用结合律，会发现，
180度旋转对应 (1+布)的平方 和 (1-布)的平方，
(1+布)(1+布)=(1+2布+布布)=2布
(1-布)(1-布)=(1-2布+布布)=-2布
也就是说，绕布轴旋转180度，只需要前面乘布，后面乘(-布)。

所以，多次的旋转，可以先乘好前面一头，另一头的算式实的不变，直接把“虚”的取反。

(6)为什么有时要调节系数？
因为使用(1+布)这样的旋转，同时还进行了伸缩变化;
如果用(sqrt(2)/2+ (sqrt(2)/2)布)这样的形式，就不需要调节系数了。
为了计算方便，可以先把所有的根号2都提区出来，最后调节。


（未完待续）




  

乌木

问问：这和邱志红在下面的帖子中说的“叉乘”是否有联系？
《[原创]一式解万方》
http://bbs.mf8-china.com/forum.p ... 355&fromuid=449

schuma

这个代数规则跟四元数的 i j k 的乘法完全一样。从四元数最开始，人们就已经知道它和三维空间的旋转的关系了。

天方魔

完全晕晕圈了。。。用ABC代替布包槌可能更容易理解点吧？？

aubell

乌木 发表于 2015-7-12 06:04
问问：这和邱志红在下面的帖子中说的“叉乘”是否有联系？
《[原创]一式解万方》
http://bbs.mf8-china.c ...

表示旋转、姿态等历来有向量方法和四元数方法。

邱用的是向量方法，解析的很漂亮，但个人感觉没有必要使用六个坐标轴，很容易弄错。
用向量方法，有一点不够美观的是要在魔方上适当的修订方法。使用四元数，基本上不用
改变任何规则。乌木老师如果有兴趣，可以百度一下”四元数“，研究一下怎样把用四元数
用在魔方上。

aubell

schuma 发表于 2015-7-12 07:33
这个代数规则跟四元数的 i j k 的乘法完全一样。从四元数最开始，人们就已经知道它和三维空间的旋转的关系了 ...

楼上schuma是明眼人啊，一眼就看出了来历！

我这样写，只是为了让从来没有接触过“四元数”的人看的懂。
不要让“四元数”这样貌似高深的名词吓跑看帖人。

schuma，也一起探讨后面的部分吧！

aubell

也欢迎邱老师来讨论使用四元数表示魔方转动和公式的方法！

schuma

aubell 发表于 2015-7-11 17:08
楼上schuma是明眼人啊，一眼就看出了来历！

我这样写，只是为了让从来没有接触过“四元数”的人看的懂 ...

原来你是假装纯洁啊，这可不好啊

aubell

（续）


既然已经识破了来历，那么，下文我就不时的把石头、剪刀、布恢复成它们原始的面貌了，
分别叫做i,j,k。最后终将恢复它们的原貌i,j,k。向大师哈密顿致敬。
这样，兼顾习惯看字母的朋友们。

这种方法使用的的确是四元数，有兴趣的朋友可以一起来讨论。

3.怎样表示我的RUF?怎样表示我的XYZ?我喜欢RUF!我喜欢XYZ!我要用ABC!
从一开始，我就不希望卷入争论，是使用RUF表示转动好？还是使用XYZ表示转动好？
所以我干脆叫它们石头、剪刀、布。

石头轴垂直于石头面，如果你关注于轴，你就能看到xyz三维坐标轴;如果你关注于面，
你就能看到，其实L层和R层以及M层其实没什么区别，都是垂直于同一个轴的平面。

数学的宝库浩如烟海。我们都像盲人摸象一样，常常执着大象的某一个部分，就以为
整头大象是这个样子了。魔方虽然小，在我看来，也无异于一头巨象，所以，我不敢
确立任何东西，只是拿前人的理论来解析它。

R操作和CR操作（整体转动）的区别在于：R是针对魔方上特定位置的方块，CR是针对魔方所有的方块。
两者没有本质的区别。都是朝一个同方向转动。不同在于，一个少转几层，一个多转几层。

R操作的定义应该是类似这样的:如果方块当前处于(ABCD)位置上，那么就转它;
CR操作的定义是类似这样的:如果方块当前处于(ABCDEFG)位置上，那么就转它。
只有一点点区别，就是当前处于某某位置，CR操作取的范围大很多。

本来坐标系种类已经够多了，现在我又不小心把i,j,k请了进来。好吧，既然来了，就安个家吧，
i放在x轴上，j放在y轴上，k放在z轴上。也就是说，“石头轴”现在是x轴了。i现在是x轴的长度
单位。

三维坐标系历来也有使用左手系还是使用右手系的争论，我真的很头大。传统上标准上好像是
习惯逆时针转;魔方玩友习惯顺时针表示，逆时针的都要打上一撇。
没有关系，四元数在对应到坐标系之前是没有方向的。
数是数，形是形。你希望它怎么转，它就怎么转。习惯用左手系的，您就用左手系;习惯用右手系的，您就用
右手系。注意那时(1+i)对应的方向就可以了。

甚至有的人习惯钻进魔方内部，来观察魔方的转动，他说，那样的好处是，可以随时看见所有面上的方块，
那时，他可能需要用雷达一样的坐标系。在那样的坐标系下，怎样讨论魔方的转动呢？我还没有尝试过。
有兴趣的朋友可以试试，那是怎样的感觉。

为了描述方便，我先不把i,j,k绑定到具体的坐标轴上，也不规定它们在魔方上对应哪个面。甚至，取消规定
“石头、剪刀、布”是顺时针排列的。在应用的时候，再把i,j,k绑定到具体的坐标轴上。这样，就可以暂时抛弃
坐标轴和LUR，由此也获得了更多的绑定方式，不同的绑定方式，可以完成不同对称方式的转换。左手系和右手系是
同时需要的，因为一种恰好存储了另一种的镜像。LUB也是需要的，因为传统上大家是这样表示的。

我们把实数称为“实部”，把i,j,k称作“虚部”。我们使用的是“两头乘”，假定R对应前乘(1+i)和后乘(1-i)，
注意到前乘的数和后乘的数差别只在“虚部”的符号，因此，也只需关注一头就可以了。我们关注前面一头。
可以假定R对应(sqrt(2)/2)*(1+i), F操作对应的用j,U操作对应用k。此时，假如把i,j,k绑定为x,y,z
的长度单位，那么，坐标系是左手系。RUF有了各自对应的操作，xyz也有了对应的坐标轴。

也不知是幸运还是不幸的是，坐标系有那么多种。平面坐标系：笛卡尔原始的是向左为正，向上为正;我们教科书
上是向右为正，向上为正;电脑屏幕则常常把0点放在左上角，向右为正，向下为正;每一个窗口内部，又有至少两个
坐标系，一个是以整个窗口左上为0点计算的，方便安排各种按钮的位置，一个是以文档窗口左上为0点计算的，
好比word中新建一个文档，就把这张A4纸左上角作为坐标原点了。但你在文档里面绘图的时候，很可能右建一个教科书
上的坐标系，把原点方在纸的正中心。还有逻辑坐标和屏幕坐标的分别，比如，你画了一张巨大的图画，远远大于显示器屏幕，
图画每个点都有坐标，而屏幕自身也有坐标，于是，在屏幕显示这幅图画的时候，拖动的时候就有坐标变换。

坐标系，带给我们方便，也带给我们不便。坐标变换是普遍存在的。因此，不要为此头痛，只要多一点耐心，就不会出错。
在方方正正的魔方上，最多只有24种方法来建立三轴坐标系。

4.为了描述方便，暂时这样绑定：x轴从魔方内部中心穿出，标志正方向的箭头射破R面，x轴的长度单位用i;
  y轴正方向穿破U面，长度单位用j;z轴正方向从F面中心穿出，长度单位用k。


  

aubell

schuma 发表于 2015-7-12 12:14
原来你是假装纯洁啊，这可不好啊

呵呵！使用“石头、剪刀、布”还有一个理由，那就是它们天生的克制顺序。
正是这种克制顺序导致了乘法运算的不可逆。

i,j,k则没有明显的讲明这一点，只是暗含在其中讲。

所以，我先用“石头、剪刀、布”代替一下，让初相见的人一眼就能知道这种天然的顺序。