【東方】有关1*3*3的最远步数，平均还原步数，全部状态数。。。

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    嗯，感谢楼主提供的“小巧魔方”主题！
  
    欢迎大家把结论绘成“态态关系网”参与
  
       小巧魔方态态关系网   http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=30653
  
的探讨。
  
    再送大家两个类似的“五边形魔方”、“六边形魔方”，请大家继续研究！
  
  
  
  
　　
　　
　　
　　
　　

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原帖由 noski 于 2009-7-8 13:44 发表
  
最短的循环应该就是“RLRL”这种了吧，不过知道这算不算是循环，大家在讨论3阶魔方的循环的时候，没有人考虑这种，考虑的都是“RRRR”这样的四步循环。
  

　　　　
　　
  
    RR 、 LL 、 FF 、 BB 都是 1×3×3 魔方的循环变换！ 当然 最短的循环
  
应该是它们了！
  
    这里要注意： 虽然表面上看   RR = RR' ，但 RR 是循环变换，RR' 却是
  
无效变换！  这就是严谨的“数学”概念！  请大家务必 正确 理解 ！
  
   
  
   
　　
　　

原帖由 noski 于 2009-7-8 13:44 发表
  
最远的8步态的一个公式：R L F R F B R F
  
不知这192个状态能否画出个“态态关系网”，继续尝试一下。。
   

   
   
   
    针对 1×3×3 魔方最远状态的一个公式： R L F R F B R F
  
    再结合 “奇偶差异性魔方”的两个定理：
   
     定理一： 设 奇偶差异性魔方 的最长变换的长度为 x ，并设：
              a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax
为其中任意一个长度为 x 的最少步变换，设这个变换为 A ，
即：A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ，又设 d 为任一个步长为 1 的变换，
那么：对于这个最长变换 A 存在一个由 d 开始的长度为 x 的最少步变换 B ，
使得：A = B 。
  
     定理二： 设 奇偶差异性魔方 的最长变换的长度为 x ，并设：
              a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax
为其中任意一个长度为 x 的最少步变换，设这个变换为 A ，
即：A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ，又设 d 为任一个步长为 1 的变换，
那么：对于这个最长变换 A 存在一个由 d 结束的长度为 x 的最少步变换 B ，
使得：A = B 。
  
谈谈下面几点看法：
  
    1、 1×3×3 魔方最远状态只有一个，由循环变换理论得 R L F R F B R F
  
的“循环公式”八个“公式”全部指向同一状态－－－ 1×3×3 魔方的最远
   
状态！ 即“循环公式” R L F R F B R F 为该魔方的一个“最长循环公式”。
  
从而得到  R L F R F B R F R L F R F B R F 为该魔方的一个最长循环变换！
  
    2、循环公式 R L F R F B R F 验证了“奇偶差异性魔方”的两个定理。
  
    3、由 R L F R F B R F 等“循环公式”可指导大家绘制 1×3×3 魔方
  
的“态态关系网”。
  
　　
　　
　　
　　
　　


　　
　　
　　

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原帖由 乌木 于 2009-7-9 10:47 发表

二，21个6步态中另一部分可能是再走一步的话，没有新态，既不是7步态，更不可能是8步态，而是直接就往回走了，也就是说，从初态一路走到它这个6步态，已经是它这一路线的最远态了。不知可能吗？

　　
　　
  
  
    这是 1×3×3 魔方的“终极状态”在表演杂技呢，呵呵！
  
    魔方的“终极状态”请大家参考
  
      魔方状态变换序列  http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=153&page=6#pid7061
　　
  
    请大家对比参考 2×2 平魔的终极状态：
　　
　　
　　
　　

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    呵呵，看来大家需要长一双“高维眼”才能看懂 noski 先生绘制的 1×3×3
  
魔方“态态关系网”。因为它本来就属于“高维空间”的东东嘛！ noski 先生对
  
“循环变换”、“循环变换球面网”的认识比我深刻呀！  
　　
  
  
  
  

原帖由 noski 于 2009-7-23 22:36 发表
  
第二个问题，暂时不知道比穷举搜索更好的办法了，或许考虑考虑状态图之后可以算出来

   
　　
  
    看似是玩笑，但只有深谙“循环变换球面网”博大精深后的人才能说出这样
  
意味深长的话呀！不错，很好！  我在那里就不再回贴了，在这里就算是答复了！
  
  　　
　　

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-7-25 02:35 编辑 ]

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    呵呵，真是“有意栽花花不发，无心插柳柳成阴”呀！
  
  
    本人自来到论坛就一直倡导推广运用“循环变换理论”解决各类魔方 最少步
  
及 最远状态，但收效甚微。在楼主发表本主题之前，我还在“顽固不化”地利用
  
    小巧魔方态态关系网   http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=30653
  
“强行”推进“循环变换理论”的研究，但“有意栽花花不发”呀。
  
  　　
  
    纵观本主题， noski 先生一直在寻找各种“循环变换”，以求尽早地“锁定”
  
1×3×3 魔方“态态关系网”。乌木 先生却对“最长循环公式”情有独钟，轻视
  
1×3×3 魔方的其他“终极状态”的研究（即轻视“次长循环变换”等的研究）
  
分析，走了些弯路，但最终还是回到了寻找各种“循环变换”上来。
　　
　　　　
  
  
   
    总之，大家都在楼主发表的本主题中有意无意自觉地运用了“循环变换理论”，
  
解决了 1×3×3 魔方的 最少步、最远状态 及“态态关系网”等常见问题。这里
  
要特别感谢楼主的主题，再次加分支持！
  
   
　　
　　
　　
　　
　　

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    同时，特别感谢 noski 、乌木 先生所做的大量验证“循环变换理论”的工作，
  
尤其 乌木 先生是在“徒手”（无计算机程序帮助）的情况下，给出
  
              从初态到最远态的最短（8步）路线  
  
     （ “循环变换理论”注： 任意状态的最远状态最少步变换 ）
   
  
费了 乌木 先生很多精力和时间，很不容易的。 当然大家可以在 noski 、乌木 先生
  
结论的基础上再次验证它们的“循环公式”及其“循环变换”，届时大家便可以看出，
  
这些公式可以被“浓缩”到什么程度，以便大家更深层次地理解“循环变换理论”
  
的作用！  即大家可以通过这个主题初步理解 “任意两状态的最少步变换” 都在
  
经过这两个状态的“循环变换”上！
  
　　
　　
　　
　　

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    举例，三维 0123 双环魔方 “任意两状态”的 最少步变换 ：
  

  
    三维 0123 双环魔方 的 正十二点四连循环变换球面网  中 共有八个不同的循环
  
变换：
  
      大  大  大
      大' 大' 大'
      小  小  小
      小' 小' 小'
      大  小  大  小
      小' 大' 小' 大'
      大  小' 大  小' 大  小'
      小  大' 小  大' 小  大'  
  
    这“八个循环变换”包含了 三维 0123 双环魔方 所有“最少步变换”！ 即
  
    对 三维 0123 双环魔方“任意状态”使用这“八个循环变换”将产生该魔方的
  
“所有状态”！即 三维 0123 双环魔方“任意两状态”的 最少步变换 被该魔方的
  
“八个循环变换”锁定！
  
    同样，各类魔方“任意两状态”的 最少步变换 被该魔方的“循环变换”锁定！
  
  
    只有深谙“循环变换理论”博大精深的人，才能感悟出这三句话所蕴含的真谛！
  
　　
　　　　
　　

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-7-25 03:05 编辑 ]

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    感兴趣的魔友可以参照本主题，继续研究“五边形魔方”、“六边形魔方”！
  
   
  
　　
　　
　　

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     1×3×3 魔方的一个 遍历循环 的例子：
  
  
  
    附：有关 1×3×3 魔方 的内容请大家参考：
  
    http://www.jaapsch.net/puzzles/hamilton.htm
  
    http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=34840
  
    http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=32990