求教证明题

jx215

求证：方程2^x-1=3y, 有无穷多组正整数解。

小七阶

个人觉得画图可以解释的

zbyxzh

令x1=2，y1=1，有
2^x1-1=3y1
设x2=2x1=4，则有
2^x2-1=2^(2x1)-1=(2^x1+1)(2^x1-1)=(2^x1+1)*3y1=3y2，其中y2=y1*(2^x1+1)为正整数
以此类推，当x=2、4、8、16……时，有y=1、5、85、21845……
所以原方程有无穷多组正整数解

在这种情况下，x、y具体具体表达式楼主不妨自己写写看

yeees

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[ 本帖最后由 yeees 于 2011-2-22 20:32 编辑 ]

chuchudengren

a模3余1，b模3余1，则ab模3余1. 有一组解，则有无穷解。

jx215

画图证明不太可靠

jx215

若n为奇数则不成立吗？

战斗机

五楼有些思路和我一样耶～

yeees

什么奇数不成立呀？
前半截你能看懂吧
后半截我用的数学归纳法证明的嘛
是不是你还没学过数学归纳法，所以对那种证法有些不解呢？
我定义的n是偶数，但n/2不一定是偶数啊
所以要分别讨论
如果讨论的结果是，n/2无论奇偶都能保证原命题（即当n为偶数的时候，2^n-1能被3整除）一定成立的话，那么也就证明了一定有无穷多组解啊
还有不明白的地方就回复我。

[ 本帖最后由 yeees 于 2011-2-22 23:05 编辑 ]

tm__xk

当然有无数解了
随便取正偶数x都行