求多项式项数

jx215

一，a1,a2...a100各不相等，每个素数项为减号（如2，3，5，7...项），合数项为正号（如4，6，8...项另外包括1）
有多项式(a1+a2)×(a3-a4)×(a5-a6)×(a7+a8)×(a9-a10)×(a11+a12)×(a13-a14)...×(a99+a100)
问展开后含负号的项数是多少？

二，（a1+a2)*(a3+a4)  展开后有4项
（a1+a2)*(a3+a4)*(a5+a6)  展开后有8项
求证：（a1+a2)*(a3+a4)*(a5+a6)...*(an-1+an) 展开后有2^(n/2)项
类似有（a1+a2+a3)*(a4+a5+a6)...*(an-2+an-1+an)展开后有3^(n/2)项

[ 本帖最后由 jx215 于 2012-3-29 21:38 编辑 ]

chuchudengren

第一题，正负各占一半吧2^49；第二题，归纳法，还有最后应该是3^(n/3)

jimofc

第一个：随意提取一个含减号的项，比如(a3-a4)，设该项为(a3-a4)=(X-Y)，【这里默认a1,a2...a100全是同号，异号的情况一定有使多项式全正或全负的情况】
一系列计算之后得（A个正项+B个负项）(X-Y)   的形式
那么显然正负项均为A+B个

(A+,B-)*(+,-)=（A-(-B)）正项+ （-B-A）负项

Cielo

原帖由 chuchudengren 于 2012-3-29 21:48 发表 第一题，正负各占一半吧2^49；第二题，归纳法，还有最后应该是3^(n/3)

赞！不过不需要用归纳法，直接就能看出来啊˜

jx215

原帖由 chuchudengren 于 2012-3-29 21:48 发表
第一题，正负各占一半吧2^49；第二题，归纳法，还有最后应该是3^(n/3)

对，是这个

打败Erik

现在除了带积分的数学题会做 别的一概不会。。。

superacid

原帖由 jimofc 于 2012-3-29 22:05 发表
第一个：随意提取一个含减号的项，比如(a3-a4)，设该项为(a3-a4)=(X-Y)，【这里默认a1,a2...a100全是同号，异号的情况一定有使多项式全正或全负的情况】
一系列计算之后得（A个正项+B个负项）(X-Y)   的形式
那么显 ...

a1,a2,...,a100是文字(变量)，没有符号

血色萱草

此题是排列组合题。
先解第二题。
共计n/2个括号，最后展开式中，每一项为n/2个数的乘积，每个数分别取自n/2个括号中，所以每个数有两种取法，由乘法原理，项数为n/2个2的乘积，等于2^n/2。

3，同理。

第一题。
共计2^50项。其中负数项：2^35*(15取1、3、5、7、9、11、13、15的排列组合），共计2^49，所以负数项占一半

[ 本帖最后由 血色萱草 于 2012-3-30 10:41 编辑 ]

jx215

原帖由 superacid 于 2012-3-30 08:24 发表
a1,a2,...,a100是文字(变量)，没有符号

均>0好了,其实不用管

[ 本帖最后由 jx215 于 2012-3-30 13:14 编辑 ]