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标题: 1大还是0.99999999.......大？ [打印本页]

作者: 子坎 时间: 2009-8-11 08:51:10 标题: 1大还是0.99999999.......大？

1大还是0.99999999......无限循环.大？

=============================

请看#60，如有错误请指教～

=============================

呵呵，其实我是在百度看到这个题目的，我经常去百度知道学习，这次的收获还不错嘛～
其实个人感觉题目看似简单，但要解并不容易，每个人的想法正好代表每个人的数学水平～
就好像让你证明1+1=2，有人会说1个苹果+一个苹果不就二个了吗？
但有些人就用%！@#%*…………（这不是粗口，一些运算符号～）

来证明。
反正，好的大家学习，太深奥的大家浏览，对于那些唯我是对的人，一笑而过就行了。

总之不要把自己的想法强加于别人。有道理，别人自然会信服

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现在我又觉得是1大了。。。
0.999是无限近1

[ 本帖最后由子坎于 2009-8-27 08:41 编辑 ]

作者: loink 时间: 2009-8-11 08:53:25

相等
字数.exe

作者: about 时间: 2009-8-11 08:53:33

当然是1啦，楼主这样问是什么意思

作者: loink 时间: 2009-8-11 08:57:26

呃以前看到的一张图

附件: 4d4aa6dbb6f91cf2b6fd488f.jpg (2009-8-11 08:57:26, 14.3 KB) / 下载次数 296
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作者: 伦子 时间: 2009-8-11 08:58:45

原帖由 loink 于 2009-8-11 08:57 发表
呃以前看到的一张图

我懵了。。。。

作者: dyer 时间: 2009-8-11 09:01:23

相等

作者: lernem 时间: 2009-8-11 09:09:06

虽然大家都认为是一样大我也认可那种证法但是我还是保留我的意见 1大！

作者: wangch05 时间: 2009-8-11 09:11:00

明显一样大。

作者: Deadrat 时间: 2009-8-11 09:13:20

they are the same

作者: waltlc 时间: 2009-8-11 09:14:13

四楼的你那个公式是在求极限意思应该是0.99999……在9无限多时趋近于1

作者: 2rabbits 时间: 2009-8-11 09:16:19

相等道理是把0.999（9循环）这个小数化为分数

作者: zgdalan 时间: 2009-8-11 09:19:03

学问学多了就不知道哪个大

作者: windancerlxp 时间: 2009-8-11 09:30:50

这个我觉得还是1大吧小数点后面9再多也还是没到1

作者: 今夜微凉 时间: 2009-8-11 09:31:19

一样大~学了极限的定义就知道了~

作者: 子坎 时间: 2009-8-11 09:32:29

呵呵，知道的人不少嘛～

作者: 今夜微凉 时间: 2009-8-11 09:37:14

原帖由windancerlxp于 2009-8-11 09:30 发表这个我觉得还是1大吧小数点后面9再多也还是没到1

小数点后再多9还是没到1，这句话不错，但要知道，无穷不是“再多”，而是一个趋势，它不是数，是一个范围。假设a是一个无穷数，那么可以得出a+a=a，这就是无穷的最大特点

作者: splendidrex 时间: 2009-8-11 09:43:34

循环就是一个极限，它们倆是相等的。

作者: aidi19880203 时间: 2009-8-11 09:47:11

令x=0.999999999
那么10x=9.999999999
上面两个式子相减得9x=9
所以x=1

作者: 东莞的8 时间: 2009-8-11 09:48:40

原帖由 今夜微凉 于 2009-8-11 09:37 发表
假设a是一个无穷数，那么可以得出a+a=a，这就是无穷的最大特点

这样算的？似乎a还有有某种指定比如阿列夫1之类吧？

作者: 乌木 时间: 2009-8-11 09:52:13

所有循环小数都可以变换为普通分数。比如：
0.33333......＝3/9＝1/3；
0.272727......＝27/99＝3/11；
0.253253253......＝253/999 ；

p/q＝0.253253253......————（1）
1000p/q＝253.253253253......————（2）
（2）－（1）：
999p/q＝253
p/q＝253/999

这种变换方法的依据是一个至今尚未证明的事实，即无限小数的计算可以按有限循环小数的方法进行。

再比如：
0.3585858.......＝0.3＋0.585858....×0.1＝3/10＋（58/99）×（1/10）
＝（297＋58）/990＝355/990＝71/198 。

所以，0.99999........＝9/9＝1 。

反过来也对：
0.84＝0.8399999.........
3.156＝3.155999999.........
17＝16.99999999.......

[ 本帖最后由乌木于 2009-8-11 09:58 编辑 ]

作者: xwt1988 时间: 2009-8-11 09:53:26

0.999……中的省略号表示无限部分的省略所以不能用有限数字的运算来证明所以诸如1/3等化成分数的证法不严密这种无限循环小数可以看做形如（0.9、0.99、0.999、0.9999……）的收敛数列 0.999……是一个数列的极限可以直观看出0.999……=1 另有多种方法也能证出关键就是个极限的概念

作者: 今夜微凉 时间: 2009-8-11 10:05:52

原帖由东莞的8于 2009-8-11 09:48 发表这样算的？似乎a还有有某种指定比如阿列夫1之类吧？

无穷就是传说中的超限基数，其实无穷和无穷是不同的，整数的个数是一种基数，线段上的点的个数是另一种更大的基数，设前者为a，后者为c，则2的a次方=c，总之无穷是很麻烦的东西~

[ 本帖最后由今夜微凉于 2009-8-11 10:07 编辑 ]

作者: mofangPYH 时间: 2009-8-11 10:14:54

0.9999999999...................和1？~~~~~~~~~~~~~
当然一样大~~~~~前面的有很多种证明方法~~~~~~~~

作者: r_517 时间: 2009-8-11 10:17:46

原帖由 xwt1988 于 2009-8-11 09:53 发表
0.999……中的省略号表示无限部分的省略所以不能用有限数字的运算来证明所以诸如1/3等化成分数的证法不严密这种无限循环小数可以看做形如（0.9、0.99、0.999、0.9999……）的收敛数列 0.999……是一个数列的极限 ...

正解～那些什么设x=0.999...，10x=9.999...之类的做法是错误的。。。只可用极限来证明

作者: 东莞的8 时间: 2009-8-11 10:18:41

原帖由 今夜微凉 于 2009-8-11 10:05 发表
无穷就是传说中的超限基数，其实无穷和无穷是不同的，整数的个数是一种基数，线段上的点的个数是另一种更大的基数，设前者为a，后者为c，则2的a次方=c，总之无穷是很麻烦的东西~

我所说的是指在同一个“度”里的数比如都是阿列夫1或者阿列夫2里而不是在两个不同数量级之间的无穷比较。并不涉及潜无穷与实无穷.我这方面的知识非常业余，表达不清

作者: tao9t 时间: 2009-8-11 10:22:35

用微积分算是相等的`````````````````

作者: 今夜微凉 时间: 2009-8-11 10:22:47

原帖由r_517于 2009-8-11 10:17 发表正解～那些什么设x=0.999...，10x=9.999...之类的做法是错误的。。。只可用极限来证明

晕！循环小数之所以称作有理数，是因为它们必然是可以用某分数来表达的，这是基本定义~

作者: 业余魔术师 时间: 2009-8-11 10:23:53

原帖由 windancerlxp 于 2009-8-11 09:30 发表
这个我觉得还是1大吧小数点后面9再多也还是没到1

1/3=0.33333……
这个等式成立吗？
如果成立，两边都乘上3，会是什么结果？
1=0.999999……
对吧，这是用小学的方法来证明。

关键还是第一步，1/3=0.33333……
这里使用了无限循环的概念，由于不涉及大小比较，人们对3的循环就认可了。
其实你想想，小数点后面的3，循环到再大的位数（比如说N个亿亿亿位），它也没有1/3大啊。
只有是无限多，就是没有尽头的时候，它才可以等于1/3。
所以才有后面的证明，两边都乘以3。

作者: zhang197695 时间: 2009-8-11 10:28:35

理论上相等，实际上1大。

作者: ooooo 时间: 2009-8-11 10:31:47

1除于3我们把它当做0.3333无限个，其实也是不精确的
因为他始终比1/3小

所以0.33333乘以3得0.999999无限个也是始终小于1的~

作者: 今夜微凉 时间: 2009-8-11 10:33:09

难怪当年无穷这个概念花了上百年才让人接受~主要是超越人类的现实~实际和理论上都是相等，不要只看9和1~看9的无穷~无穷~无穷~

作者: 今夜微凉 时间: 2009-8-11 10:41:40

原帖由ooooo于 2009-8-11 10:31 发表1除于3我们把它当做0.3333无限个，其实也是不精确的因为他始终比1/3小所以0.33333乘以3得0.999999无限个也是始终小于1的~

还记得小学怎么表示1/3吗？就是0.3〔其中3上面有一个点〕，也就是说，0.33333......定义为1/3，这是定义，没有理由的。有理数定义为能表述成分数〔真分数和假分数都行〕的数

作者: fm19960607 时间: 2009-8-11 11:06:22

0.9999………………是无限接近于1，但是………………我糊涂了，你们高手去解答吧

作者: 飞扬 时间: 2009-8-11 11:29:32

不相等，那个证法里面有个漏洞，正确结果是不相等

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2009-8-11 11:31:28

根据极限的定义，他们的差的绝对值小于任何一个实数，所以本质上他们是同一个数的不同表示，所以一样大

作者: kaylmu 时间: 2009-8-11 12:18:24

我觉得是1大,0.99999999......只不过是无限接近1,并没有1大

作者: william_khs 时间: 2009-8-11 13:10:39

只要0.999999...有著無限9，那麼0.99999999999999999999999....=1, =>不能比大小

作者: conwood 时间: 2009-8-11 13:17:59

答案真有趣啊，我来捣个乱，我认为0.99999999..比1大。

作者: 如来佛猪 时间: 2009-8-11 13:23:38

这个网络讨论们热烈啊...但是一样大 0.1循环等于1/9 0.9循环就等于 9*1/9=1

作者: superacid 时间: 2009-8-11 15:00:00

大家可以看看某些数学分析书，有这样一条定义：如果一个无限小数从某位开始都是9，
如___.____a99999...，定义为___.____a99999...=___._____(a+1)
无穷小数只是一个记号，不能参与运算。

作者: 贝氏王朝 时间: 2009-8-11 17:40:35

上过高中的都知道相等

作者: 小波 时间: 2009-8-11 19:22:27

因为无限多，所以一样大。
我再帮忙顶一下。
数学和哲学一样，不崇拜任何东西，所以有人说“理论上……”“实际上……”，这种说法是可笑的。

作者: sunyuanhong 时间: 2009-8-11 19:26:39

为什么，明显1大啊！！

作者: 如来佛猪 时间: 2009-8-11 19:26:56

自己拿计算机算好了...只要是工程计算机都能算出来两个的差是0

作者: 子坎 时间: 2009-8-11 20:57:53

哈哈，这个题很好玩吧？#37正解

作者: hfyxin 时间: 2009-8-11 21:07:22

4楼正解～～一样大~~

作者: q376997368 时间: 2009-8-11 22:38:35

初中老师说是无限趋近
高中老师说是相等
我是一直相信他们是一样的

作者: 海涛MouSe 时间: 2009-8-13 01:09:22

用极限，一样大的，很简单

作者: 石崇的BOSS 时间: 2009-8-13 09:43:50

这个题用无穷等比数列求和公式证明最合理，这个证明是有科学依据的
1道题.gif

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作者: lsh 时间: 2009-8-13 10:44:24

LZ几年级？
好像初中就会了
我六年级，但我也知道1=0.9，9循环
比如三分之一等于0.3三循环，七分之一等于0.142857 142857循环，而它们乘以3或7等于0.9……，那三分之一乘以三七分之一乘以七不都是1吗

作者: 堕落的角 时间: 2009-8-13 14:00:41

相等？不会吧！！！！1

作者: superacid 时间: 2009-8-13 15:00:55

不懂实数理论就不要讨论了...

作者: superacid 时间: 2009-8-13 15:03:58

讨论这种问题不能用小学或初中的无穷循环小数理论解决，
首先问大家一个问题：
为什么0.3333333....是一个确定的实数？

作者: victormagic 时间: 2009-8-13 16:12:10

相等的
0.99999999.......*10=9.99999999.......
0.99999999.......*9=0.99999999.......*10-0.99999999.......
=9.99999999.......-0.99999999.......
=9
0.99999999.......=1

作者: victormagic 时间: 2009-8-13 16:27:13

很多人理论很可笑啊
学过极限的人看四楼为正解
没学过极限的看楼上我的简单证明

作者: superacid 时间: 2009-8-13 16:32:13

楼上的不懂就不要说

作者: aidi19880203 时间: 2009-8-13 18:40:00

有严重问题!!!!! 请问小于1的最大实数是谁？

作者: 子坎 时间: 2009-8-13 19:32:37

哈哈，变热贴了～～～～～～～～～

作者: 子坎 时间: 2009-8-13 19:36:41

解：因为
1/3=0.33...
0.33...*3=0.99...
所以
1/3 * 3= 0.99...
又因为
1/3 * 3=1
所以1=0.99...

作者: superacid 时间: 2009-8-13 19:57:57

58楼...

作者: superacid 时间: 2009-8-13 19:59:32

如果是意思意思的话，60楼方法就可以了，实际上还是有较大问题的。

作者: yyg_hl 时间: 2009-8-13 20:15:31

没有任何争议，相等，不知道的和有相反意见的是因为高数不及格。

作者: xy19948 时间: 2009-8-13 21:18:36

相等
0.9循环除以9等于0.1循环
也就等于就分之一
再乘以九
等于一

作者: argonium 时间: 2009-8-13 22:20:52

一样大
0.111111111111111111……=1/9
0.222222222222222222……=2/9
……
0.999999999999999999……=9/9=1

作者: qingang1205 时间: 2009-8-13 23:21:12

个人认为从极限来看，是相等的。

作者: shadowlsd 时间: 2009-8-14 00:10:24

可以这么解释，0.9999999……和1之间没有数存在，所以他们相等

作者: S13839165177 时间: 2009-8-14 00:14:26

不发表言论本来是认为相等的可是经过大家一讨论迷了初中二年级水平极限概念不清楚但我认为55#的简单解释我比较容易接受

作者: wendaomaye 时间: 2009-8-14 00:32:58

理论上肯定1大。实际上应该是一样的了。

作者: r_517 时间: 2009-8-14 00:35:16

原帖由子坎于 2009-8-13 19:36 发表
解：因为
1/3=0.33...
0.33...*3=0.99...
所以
1/3 * 3= 0.99...
又因为
1/3 * 3=1
所以1=0.99...

这样思考是可以的。。。但证法是完全错误的。。。光这个等式就没有意义0.33...*3=0.99...，因为你无法证明0.99...这个是一个确切的存在大小的实数。

好好学数学分析吧

作者: wendaomaye 时间: 2009-8-14 00:40:17

60楼的看似正确。但实际是有漏洞的。3分之1虽然写成0，33…了。但要知道。你这串3后面是有省略号的，也就是循环的。要真正写下去世界上没有一个东西能装下。当然也是写不光的。所以是不对的。不信你用计算器。3分之1乘以3是1，但0，33…不管你写多少个3，乘3都不是1。当然，要用高级点的计算器。所以60楼是误导的。不说数学，就说语文方面。1是等于1。而0，99…是小于1。说法都不同。怎么会一样呢。

[ 本帖最后由 wendaomaye 于 2009-8-14 00:47 编辑 ]

作者: wendaomaye 时间: 2009-8-14 00:44:40

我打错了。是3分之1写成0，33…

作者: 黑桃Q 时间: 2009-8-14 00:45:45

证明的方法有很多：

第一种，最简单的：
设x=0.9999999999999……，那么10x=9.99999999999……，得到
10x-x=9
得x=1

第二种，也很简单的：
设x=0.999999999999……，那么x/3=0.333333333333……=1/3，得
x/3=1/3
x=1

第三种，稍微要绕一点脑筋：
你用竖式计算1除以1（竖式应该会吧，小学学过的），不同的是一开始不要直接商1，而要商0，那么余数是1，添加一个0变成10，然后商9，10-9=1，又得到余数是1，再按照上面的方法进行计算，就会算出来1/1=0.9999999……

第四种，可以用极限来做：
等比数列的求和公式是[a1(1-q^n)]/(1-q)，那么当q<1且n->无穷大的时候，这个式子的极限就是a1/(1-q)。由于循环小数0.aaaaaaaaa……=a/10+a/100+a/1000+a/10000+……，它的每一个加数刚好构成一个无穷的等比数列，而且q=1/10，那么就可以用a1/(1-q)计算0.99999999……，此时a1=0.9，q=1/10，很容易就可以得到0.9999999999……=0.9/(1-1/10)=1

以上就是常见的证明0.99999999999……=1的方法。方法还有很多种。最后结果都是：0.999999999……=1。

另外，我还可以明确地告诉你，以上的推理过程都是比较严密的，不要相信所谓的0.3333333333……只是约等于1/3，0.9999999999……<1。至少在我们所使用的数学中，0.999999999……=1。

希望你能理解

作者: wendaomaye 时间: 2009-8-14 00:46:11

可恶。好多地方都打错了。意思差不多是这样。用手机打的有点乱。3和9没分清。

作者: r_517 时间: 2009-8-14 00:48:09 标题: 回复 73# 的帖子

不好意思。。。全都有很大漏洞。。。好好学数学分析吧

作者: 子坎 时间: 2009-8-14 07:57:56

呵呵，分歧真够大的～那个是我的理解，相信的确不对，那个答案是有漏洞

作者: victormagic 时间: 2009-8-14 08:45:01

楼主你的推导第一个式子相当于拿了结论啊
57楼我是没你懂你学的若不是文科大一为什么不留级

作者: beyond1982 时间: 2009-8-14 09:03:46 标题: 我是支持1大的

0.9九循环极限是1，是说无限趋近1。1对于它来说是永远可望不可即的。用极限的理论证明的也不对，那只是证明极限等于1。还有我认为0.9九循环不等于1/3乘以3。理解的方式就有问题。

作者: 黑桃Q 时间: 2009-8-14 09:06:59

我告诉你啊这种题都是很有争议的无解题

作者: 赵军408459443 时间: 2009-8-14 11:37:15 标题: 额……

高中有这个的证明…1和0.99999999…是相等的…

作者: 黑桃Q 时间: 2009-8-14 14:27:57

极限啊

不就是吗

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2009-8-14 14:33:30 标题: 回复 77# 的帖子

= =人家数学上海第四，全国银牌。。。

作者: maqianxi 时间: 2009-8-14 14:35:04

一样大一个高中竞赛题而已~~~我确定~~

作者: superacid 时间: 2009-8-14 15:26:48

原帖由 victormagic 于 2009-8-14 08:45 发表
楼主你的推导第一个式子相当于拿了结论啊
57楼我是没你懂你学的若不是文科大一为什么不留级

你对这有异议说明你的数学学得不过深入

作者: superacid 时间: 2009-8-14 15:29:37

首先必须知道0.9999....表示的是一个数列的极限，用4楼的方法计算出极限值等于1是可以的，
但必须知道首先需要证明它的极限时存在的，而这一点经常没必要写出来，不过一定要心里有数。

作者: r_517 时间: 2009-8-14 17:13:41

原帖由 victormagic 于 2009-8-14 08:45 发表
楼主你的推导第一个式子相当于拿了结论啊
57楼我是没你懂你学的若不是文科大一为什么不留级

你的那个证法根本就是完全错误的。。另外别质疑57楼的数学实力。。。

原帖由 铯_猪哥恐鸣 于 2009-8-14 14:33 发表
= =人家数学上海第四，全国银牌。。。

作者: ikari721 时间: 2009-8-14 17:51:45

我觉得一样大

作者: SITH 时间: 2009-8-14 18:13:40 标题: 一样大！！

设x=0.9999……则，10x=9.999……，
∵10x-x=9.999……-0.999……
∴9x=9
解得x=1
∴1=0.999……

作者: honglei 时间: 2009-8-14 20:13:47

可以这么理解吗？
１－0.99999999……＝0.00000000000000……
零后边的那个１永远也不会出现。

作者: flwb 时间: 2009-8-15 01:12:19

原帖由子坎于 2009-8-13 19:36 发表
解：因为
1/3=0.33...
0.33...*3=0.99...
所以
1/3 * 3= 0.99...
又因为
1/3 * 3=1
所以1=0.99...

你的解答有问题,你既然还没搞清楚1大还是0.999....大,那你是怎么搞清楚1/3=0.333....的?

作者: flwb 时间: 2009-8-15 01:14:27

原帖由子坎于 2009-8-13 19:36 发表
解：因为
1/3=0.33...
0.33...*3=0.99...
所以
1/3 * 3= 0.99...
又因为
1/3 * 3=1
所以1=0.99...

解答错误,你既然不能确定1大还是0.999....大,那你是怎么确定1/3=0.3333....的?

作者: flwb 时间: 2009-8-15 01:19:05

原帖由子坎于 2009-8-11 09:32 发表
呵呵，知道的人不少嘛～

其实在这个问题上你什么都不知道!

作者: yandinet 时间: 2009-8-15 09:12:11

一样大啊，极限理论嘛。如果否认极限论会有很多别的问题。比如说我一小时跑10公里，汽车一小时100公里，我跑1小时汽车启动。十分之一小时后汽车到了我的位置，但是我已经向前走了1公里了，百分之一小时后，汽车又到了我的位置，但是我又向前100米了，如此类推，汽车永远追不上我。但是事实不是这样的……

作者: 乌木 时间: 2009-8-15 10:32:48 标题: 用有理数逼近

任一实数可以通过用有理数按任意多位的准确度加以逼近。比如：
0.9<1<1.1
0.99<1<1.01
0.999<1<1.001
0.9999<1<1.0001
………………
………………
因而数1位于无穷多具有有理端点的（0.9，1.1），（0.99，1.01），（0.999，1.001），…………的区间之中，这些区间是一个套着一个的。一个“区间套”意味着区间的左端点单调递增，右端点单调递减，区间的长度可以任意小。利用这种区间套，数1被唯一确定。
一切实数都可以相应地以任意准确度给出。

作者: 今夜微凉 时间: 2009-8-15 10:41:52

原帖由乌木于 2009-8-15 10:32 发表任一实数可以通过用有理数按任意多位的准确度加以逼近。比如：0.9

乌木老师，不好意思，我稍微纠正一点东西，只有“闭区间套定理”，没有“开区间套定理”，只要把您的(0.999，1.001)改成[0.999，1.001]就可以了

作者: 乌木 时间: 2009-8-15 11:23:25 标题: 回复 95# 的帖子

不用客气。其实在论坛中能者为师，各位不必叫我老师的。好多东西我是要么不懂，要么忘了，上网来和大家交流，增智添乐啊！

作者: superacid 时间: 2009-8-15 11:39:48

原帖由 今夜微凉 于 2009-8-15 10:41 发表
乌木老师，不好意思，我稍微纠正一点东西，只有“闭区间套定理”，没有“开区间套定理”，只要把您的(0.999，1.001)改成[0.999，1.001]就可以了

开区间套问题也不是很大，只要每个端点都是变的就可以了

作者: alabing11 时间: 2009-8-15 19:11:20 标题: 回复 60# 的帖子

1/3=0.33.......只是近似~

作者: 263641978 时间: 2009-8-15 21:33:32

相等
一个同学证过比我看,但是不记得过程.

作者: superacid 时间: 2009-8-15 21:59:25

占第100楼

作者: 今夜微凉 时间: 2009-8-15 22:02:18

原帖由superacid于 2009-8-15 21:59 发表占第100楼

哈哈！这楼占的~我服了！

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