各类“奇偶差异性魔方”的判定及性质 和 “ N 陪集魔方”拓展

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    “奇偶差异性魔方”和“ N 陪集魔方” 是魔方家族中最常见的重要分支。
  
     本文利用“循环变换”来介绍“奇偶差异性魔方”的概念、判定 及 特性 等
  
内容。使大家了解“循环变换”在“奇偶差异性魔方”和“ N 陪集魔方”上的应用！
  
  
   
　　

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一、“奇偶差异性魔方” 的定义：

如果一个魔方不存在步长为奇数的循环变换，则称这个魔方具有“奇偶差异性”。
我们称这种具有“奇偶差异性”的 魔方 为“奇偶差异性魔方”。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-2-11 09:59 编辑 ]

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二、常见实例：

1、一维“奇偶差异性魔方” 实例： n 级排列的 奇偶差异性（魔方） 。


定义 1 ：由 1，2，…，n 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列。

例如，2 3 1 是一个 3 级排列，4 5 3 2 1 是一个 5 级排列。

显然 1 2 … n 也是一个 n 级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排
起来的；

其他的排列都或多或少地破坏自然顺序。

定义 2 ：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数 大于
后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

例如 2 3 1 中，2 1，3 1 是逆序， 2 3 1 的逆序数就是 2 。而 4 5 3 2 1 的逆序数
是 9 。


定义 3 ：逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。

例如，2 3 1是偶排列；4 5 3 2 1 是奇排列；1 2 … n 的逆序数是零，因之是偶排列。


把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列。这样一个
变换称为一个对换。例如，经过 1，2 对换，排列 2 4 3 1 就变成 1 4 3 2 ，排列 2 1 3 4
就变成 1 2 3 4 。 显然，如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了。




关于排列的奇偶性，我们有下面的基本事实：

经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。

经过两次对换，不改变排列的奇偶性。

从而可以推理得到：对换 奇 次改变排列的奇偶性，对换 偶 次不改变排列的奇偶性。



因此一维 n 级排列 1 2 … n （魔方）的“循环变换”的长度只能为 偶数 。

故 n 级排列 1 2 … n （魔方）是 奇偶差异性（魔方）。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-2-11 10:00 编辑 ]

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2、二维“奇偶差异性魔方” 实例：

2×2 平面魔方具有“奇偶差异性”，她只有长度为 2、4、6、8 的循环变换；

平面 N 阶（块移动）魔方： [url=http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=7517]由二元置换看魔方的奇偶性[/url]（作者：noski ）

http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=7517

0123 魔方 实例，她只有长度为 2、4、6 的循环变换；

（作者：ggglgq ） http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=5798


[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-2-11 10:01 编辑 ]

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3、三维“奇偶差异性魔方” 实例：

正六面体 N 阶魔方 全部都是 “奇偶差异性魔方”，因为她们只有长度
为偶数的循环变换。 注意： 旋转 180 度 算 两步。


正六面体 N 阶（块移动）魔方：（推移魔方）Xdyne's Cube单机版下载

（作者：fnlq） http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=3075

其他三维“奇偶差异性魔方” 简例：


[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-2-11 10:02 编辑 ]

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三、“奇偶差异性”魔方的判定

1、根据 “奇偶差异性”魔方的定义 判定：
对于构造简单的魔方，我们可以直接通过“奇偶差异性”魔方的定义，
判定一个魔方是否是“奇偶差异性”魔方。
比如：1. 正六面体三阶魔方 每面旋转 90 °、 180 °都按一步计算，
存在 U U2 U 的“循环变换”，故 正六面体三阶魔方 相对于 每面旋转 90 °、
180 °都按一步计算，正六面体三阶魔方 非“奇偶差异性”魔方。

2. 2×2 平面魔方 只有长度为 2、4、6、8 的循环变换，因此
2×2 平面魔方是“奇偶差异性”魔方。



由于多数“奇偶差异性”魔方的“循环变换”数目很大，无法一一列举
来判定该魔方是“奇偶差异性”魔方，我们可以通过下面的 判定定理 来判定。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-2-11 10:03 编辑 ]

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2、根据 “奇偶差异性”魔方的判定定理 判定：
a. 魔方块的位态的“奇偶差异性”：用魔方步长为 1 的变换 移动
魔方块，如果 魔方块的位态 与 变换移动的步长 存在“奇偶”相关性，那么
我们称 这个 魔方块 的位态 具有“奇偶差异性”。 （即：魔方块的位态
与 移动魔方块的步长 具有“奇偶”相关关系，“奇数”的位态 只能“奇数”
步到达，“偶数”的位态 只能“偶数”步到达，不能互相参合）







b.“奇偶差异性”魔方的判定定理：如果魔方的每个块的所有位态都
具有“奇偶差异性”，那么 这个魔方具有“奇偶差异性”。
定理的证明采用反证法：假设这个魔方非“奇偶差异性”，那么至少
存在一个长度为“奇数”的“循环变换”使得魔方的每个块都处在“偶数”的
位态。因此得到至少存在一个 魔方块 移动步长为“奇数” 却 处在“偶数”
的位态。 这与 该魔方的每个块的所有位态都具有“奇偶差异性”矛盾，
故定理得证。
上面的定理告诉我们，只须考察 魔方的 所有块 的 所有位态 是否
具有“奇偶差异性”，就可以判定 这个魔方 是否 具有“奇偶差异性”了。
说是 魔方的 所有块 ，实际往往根据魔方的对称性，只须判定几个“代表块”，
其它的可同理得证。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-2-11 10:06 编辑 ]

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四、“奇偶差异性魔方”的性质：


1、如果一个具有“奇偶差异性”的魔方，同时具备这个魔方所在的空间各个
方向的几何对称性，那么这个魔方具有“奇、偶状态数相等”的属性，即 奇、偶
状态数都是 总状态数 的一半。

比如上面举的三种“奇偶差异性”魔方的奇、偶状态数相等，都是总状态数
的一半。


2、“奇偶差异性”魔方的性质：具有“奇偶差异性”的魔方 的 奇、偶状态
独立。

由于 “奇偶差异性”的魔方 只能有步长为偶数的循环变换，因此决定了她的
任何 奇数 步长 的变换都无法被 偶数 步长 的变换 表示，从而决定了这种魔方的
“奇、偶差异性”，即 这种魔方 的 奇、偶状态 独立。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-2-11 10:07 编辑 ]

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　3、“奇偶差异性魔方”的“最远状态”与“奇偶性”无关。


大家或许以为这种具有“奇偶差异性”的魔方的“最远步长”与“奇偶性” 有关，
实际上这种具有“奇偶差异性”的魔方的“最远步长”与“奇偶性” 是没有任何关系的。




“奇偶差异性魔方”“最远状态”是奇数的例子： 0123 魔方 实例



“奇偶差异性魔方”“最远状态”是偶数的例子： 2×2 平面魔方


[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-2-11 10:08 编辑 ]

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　　五、拓展推广：
  
  
      奇偶差异性魔方的定义也可以这样给出，以便拓展推广“ N 陪集魔方”。
  
　　如果一个魔方仅存在步长为偶数的循环变换，则称这个魔方具有“奇偶差异性”。
  
我们称这种具有“奇偶差异性”的 魔方 为“奇偶差异性魔方”。
  
  
　　如果魔方仅存在步长为 偶数 的循环变换，则称这个魔方为“ 二 陪集魔方”。
  
  
　　如果魔方仅存在步长为 3 倍数的循环变换，则称这个魔方为“ 三 陪集魔方”。
   
  
　　如果魔方仅存在步长为 N 倍数的循环变换，则称这个魔方为“ N 陪集魔方”。
  
  　　
　　
　　
　　

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-2-18 17:09 编辑 ]